Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ!!!! Доказать, что при любом целом значении k значение выраженияделится на 24

Answer 1

Преобразуем:

$\sf k^4+6k^3+11k^2+6k=k(k^3+6k^2+11k+6)=k(k^2(k+1)+5k^2+11k+6)= \\ = k(k^2(k+1)+5k(k+1)+6k+6)=k(k^2(k+1)+5k(k+1)+6(k+1))=\\ =k(k+1)(k^2+5k+6)=k(k+1)(k^2+2k+3k+6)=k(k+1)(k(k+2)+3(k+2))=\\=k(k+1)(k+2)(k+3)$

Т.е. выражение представляет собой произведение четырех последовательных целых чисел.

Разложим число 24 на множители: 24=2·3·4. Очевидно, что среди четырех последовательных целых чисел всегда будут числа, которые делятся на 2, 3 и 4, а значит изначальное выражение делится на 24, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что при любом целом значении k выражение делится на 24, мы должны проверить его делимость на 24 для всех возможных значений k. Поскольку у нас нет конкретного выражения, давайте рассмотрим общий метод доказательства.

Допустим, у нас есть выражение F(k), зависящее от переменной k. Мы хотим доказать, что F(k) делится на 24 для всех целых значений k.

Для этого нам необходимо выполнить два шага:

Шаг 1: Докажем, что F(k) делится на 3 для всех целых значений k. Шаг 2: Докажем, что F(k) делится на 8 для всех целых значений k.

Если выполняются оба этих условия, то мы можем заключить, что F(k) делится на 24 для всех целых значений k, так как 24 = 3 * 8.

Шаг 1: Докажем, что F(k) делится на 3 для всех целых значений k. Если сумма цифр числа k делится на 3, то само число k также делится на 3. Это свойство можно применить к числу k, так как k - это целое число.

Шаг 2: Докажем, что F(k) делится на 8 для всех целых значений k. Чтобы доказать деление F(k) на 8, нам нужно показать, что последние три разряда числа k образуют число, которое делится на 8. Если последние три разряда k образуют число N, и N делится на 8, то и число F(k) делится на 8.

Таким образом, для доказательства того, что выражение F(k) делится на 24 для всех целых значений k, необходимо выполнить оба шага:

1. Убедиться, что сумма цифр числа k делится на 3.
2. Проверить, что последние три разряда числа k образуют число, которое делится на 8.

Обратите внимание, что точный ответ может зависеть от конкретного выражения F(k), которое вы хотите доказать. Если у вас есть конкретное выражение, пожалуйста, предоставьте его, и я постараюсь помочь вам с доказательством его делимости на 24.