Question

7. Доведіть, що число (n+7)^ - n^ ділиться на 7.​

Answer 1

(n + 7)² - n² = (n +7 - n) * (n + 7 +n) =7 * (2n +7)

Если один из множителей делится на 7, то и всё произведение

делится на 7 .

7 делится на 7, значит и 7 * (2n + 7) делится на 7.

Answer 2

Для доведення того, що число (n+7)^n ділиться на 7, можна використовувати біном Ньютона та властивість ділення на 7.

Біном Ньютона виглядає наступним чином:

(n + 7)^n = C(n, 0) * (n)^n * (7)^0 + C(n, 1) * (n)^(n-1) * (7)^1 + C(n, 2) * (n)^(n-2) * (7)^2 + ... + C(n, n) * (n)^0 * (7)^n

де C(n, k) - це біноміальний коефіцієнт "n по k", що обчислюється як C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), де "!" позначає факторіал.

Зауважимо, що C(n, 0) = 1 і C(n, 1) = n, тому перший і другий доданки у розкладі (n + 7)^n не містять 7. Всі інші доданки містять 7.

Тепер розглянемо всі інші доданки (з k > 1) у розкладі (n + 7)^n:

C(n, k) * (n)^(n-k) * (7)^k = n! / (k! * (n - k)!) * (n)^(n-k) * (7)^k

Оскільки n - k ≥ 0 і k ≥ 2, то (n - k)! і k! діляться націло на 7 (оскільки обидва містять фактори 7 у чисельнику), і множення на n не змінює дільник на 7. Тобто, кожен доданок у розкладі (n + 7)^n з k > 1 ділиться на 7.

Отже, усі доданки у розкладі (n + 7)^n, крім першого і другого, діляться на 7. Сума доданків, які діляться на 7, також ділиться на 7. Таким чином, число (n + 7)^n ділиться на 7.