Question

Решите уравнение используя алгоритм lg(x+2)+lg(x-2)=lg(5x+10)

Answer 1

ОДз х-2>0; х>2
$lg(x + 2) + lg(x - 2) = lg((x + 2) \times (x - 2))$
(х+2)(х-2)=5х+10
х²-4=5х+10
х²-5х-14=0
D=25+56=81
x1=(5+9)/2=7
x2=(5-9)/2= -2 ( не входит в Одз)
х=7

Answer 2

Для решения уравнения lg(x+2) + lg(x-2) = lg(5x+10) используем свойства логарифмов, в частности свойство логарифма произведения.

1. Начнем с преобразования левой части уравнения: lg(x+2) + lg(x-2) = lg((x+2)(x-2))

2. По свойству логарифма произведения, lg(ab) = lg(a) + lg(b), получаем: lg((x+2)(x-2)) = lg(5x+10)

3. Теперь используем обратное свойство логарифма: если lg(a) = lg(b), то a = b. Применим это к уравнению: (x+2)(x-2) = 5x + 10

4. Раскроем скобки: x^2 - 4 = 5x + 10

5. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: x^2 - 5x - 14 = 0

6. Теперь решим квадратное уравнение. Можем использовать факторизацию или квадратное уравнение, чтобы найти значения x.

Факторизуем уравнение: (x - 7)(x + 2) = 0

7. Таким образом, получаем два возможных значения для x: a) x - 7 = 0 => x = 7 b) x + 2 = 0 => x = -2

Проверим решение, подставив каждое значение x в исходное уравнение: Для x = 7: lg(7+2) + lg(7-2) = lg(57+10) lg(9) + lg(5) = lg(45) lg(95) = lg(45) lg(45) = lg(45) (Верно)

Для x = -2: lg(-2+2) + lg(-2-2) = lg(5*(-2)+10) lg(0) + lg(-4) = lg(0) Ошибка! Левая часть равна lg(0), что невозможно, так как логарифм отрицательного или нулевого числа не определен в области действительных чисел.

Таким образом, уравнение имеет только одно корректное решение: x = 7.