Question

Найдите область определения функций, заданной формулой: а) y=x/3 + 5 б)y=3/x - 5 в)y=5/x(x-3) г)y= x/3 + 1/x+5

Answer 1

а) (-∞;+∞)

б) (-∞;7)U(7;+∞)

в)(-∞;-3)U(-3;∞)

г) (-∞;+∞)

Answer 2

Чтобы найти область определения каждой функции, нужно определить значения переменных, при которых функция имеет смысл, т.е. не делится на ноль или не содержит других значений, которые могут привести к неопределенности или некорректным операциям.

а) Функция y = x/3 + 5:

В данном случае, функция просто представляет собой линейную функцию. Область определения такой функции - это все действительные числа, т.к. она имеет смысл при любом значении x.

Область определения: Все действительные числа.

б) Функция y = 3/x - 5:

Здесь область определения ограничивается условием, что знаменатель не должен быть равен нулю, т.к. деление на ноль невозможно.

Для того чтобы определить область определения, решим уравнение: 3/x ≠ 0.

3/x = 0 x = 0

Таким образом, функция не определена при x = 0.

Область определения: Все действительные числа, кроме x = 0.

в) Функция y = 5/(x(x-3)):

Здесь область определения также ограничивается условиями, чтобы знаменатель не равнялся нулю и чтобы выражение под знаком радикала (корня) не было отрицательным.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: x(x-3) ≠ 0

Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 3.

2. Выражение под знаком радикала не должно быть отрицательным: x(x-3) > 0

Чтобы определить интервалы, при которых это выполняется, можно построить знаковую таблицу, рассмотрев значения на каждом интервале:

Copy code
  x < 0   |   0 < x < 3   |   x > 3

---

x(x-3) | + | - | +

Таким образом, выражение x(x-3) положительно на интервалах (-∞, 0) и (3, +∞).

Объединяя оба условия, получаем:

Область определения: x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3, +∞).

г) Функция y = x/3 + 1/x + 5:

Здесь опять же нужно учитывать условия, чтобы знаменатель не равнялся нулю и чтобы корень не был отрицательным.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: x ≠ 0

2. Выражение под знаком корня не должно быть отрицательным: x > 0

Область определения: x ∈ (0, +∞).