Question

Не используя калькулятор вычисли √7 и округли результат до десятичных дробей. объясните свои вычисления письменно

Answer 1

√4 < √7 < √9

2 < √7 < 3

Значит √7 больше двух и меньше трех.

Answer 2

Для вычисления квадратного корня из числа 7 без использования калькулятора, мы можем приблизительно определить его с помощью метода поиска приближенного значения. Одним из таких методов является метод Ньютона.

1. Предположим, что корень равен некоторому числу x: √7 = x.
2. Теперь мы знаем, что x^2 = 7 (так как квадратный корень является обратной операцией к возведению в квадрат).
3. Приближенное значение можно найти, используя метод Ньютона: x_new = x - f(x)/f'(x), где f(x) - это уравнение, которое мы хотим приблизить к нулю, а f'(x) - это производная этого уравнения.

Для нашего случая уравнение будет: f(x) = x^2 - 7.

И производная этого уравнения: f'(x) = 2x.

4. Подставим значения в формулу Ньютона и начнем с какого-либо начального приближения x_0:

x_1 = x_0 - (x_0^2 - 7) / (2 * x_0).

Выберем начальное приближение, например, x_0 = 2 (можно выбрать и другое значение, это лишь начальное предположение).

Тогда:

x_1 = 2 - (2^2 - 7) / (2 * 2) = 2 - (4 - 7) / 4 = 2 - (-3) / 4 = 2 + 3/4 = 2.75.

5. Теперь повторим процесс, используя новое значение x_1 вместо x_0:

x_2 = x_1 - (x_1^2 - 7) / (2 * x_1).

x_2 = 2.75 - (2.75^2 - 7) / (2 * 2.75) = 2.75 - (7.5625 - 7) / 5.5 = 2.75 - (0.5625) / 5.5 ≈ 2.705.

6. Повторим шаги несколько раз, пока не получим достаточно точное приближенное значение:

x_3 ≈ 2.705 - (2.705^2 - 7) / (2 * 2.705) ≈ 2.705 - (7.302025 - 7) / 5.41 ≈ 2.705 - (0.302025) / 5.41 ≈ 2.705 - 0.0558 ≈ 2.6492.

Продолжая процесс, получим более точное значение. Округлим его до двух десятичных знаков: √7 ≈ 2.65.