Question

Lim=sin(x)/x x→∞ Объясните по порядку как найти предел, ответ должен быть 0

Answer 1

Так как числитель - sin(x) ⇒ -1≤sin(x)≤1, а знаменатель x→∞, ⇒

lim(x→∞) sin(x)/x=(-1÷1)/∞=0.

Answer 2

Для вычисления предела функции Lim (x→∞) sin(x)/x, мы можем использовать правило Лопиталя (l'Hôpital's rule), если предел имеет форму "0/0" или "∞/∞".

1. Начнем с выражения Lim (x→∞) sin(x)/x. Заметим, что если мы просто подставим бесконечность вместо x, получим "∞/∞", что не дает нам определенного значения.

2. Применим правило Лопиталя: Если предел функции f(x)/g(x) при x → ∞ имеет форму "∞/∞" или "0/0", то Lim (x→∞) f(x)/g(x) равен Lim (x→∞) f'(x)/g'(x), где f'(x) и g'(x) - это производные функций f(x) и g(x) соответственно.

3. Вычислим производную функции sin(x) и x. Производная sin(x) равна cos(x), а производная x равна 1.

4. Теперь заменим исходное выражение на предел производных: Lim (x→∞) cos(x)/1.

5. При x стремящемся к бесконечности, функция cos(x) будет осциллировать между значениями -1 и 1, но она никогда не превысит эти пределы. Таким образом, Lim (x→∞) cos(x)/1 будет равен 0, так как числитель ограничен, а знаменатель стремится к бесконечности.

Таким образом, предел Lim (x→∞) sin(x)/x равен 0.