Question

Х²+у²+3ху=4(х+у)-3; 2х+2у=5-ху; Пожалуйста помогите решить задачу

Answer 1

X+y = u; xy = v

(x+y) 2 + xy = 4 (x+y) - 3 ⇒ u2 + v = 4u - 4

2 (x+y) = 5 - xy ⇒ 2u = 5 - v ⇔ v = 5 - 2u ⇒

u2 + 5 - 2u - 4u + 3 = 0

u2 - 6u + 8 = 0 ⇔ (u - 2) (u-4) = 0

1) u = 2 ⇒ v = 1

x+y = 2 I y = 2-x

xy = 1 I x (2-x) = 1 ⇒ x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1) 2 = 0 ⇒

x=1 ⇒ y = 1

2) u = 4 ⇒ v = - 3 ⇒

x+y=4 I y = 4-x

xy = - 3 I x (4-x) = - 3 ⇒ x2 - 4x - 3 = 0

x1=2+√7 ⇒ y1=2-√7

x2 = 2-√7 ⇒ y2=2+√7

Ответ : (1;1); (2+√7; 2-√7); (2-√7; 2+√7)

Answer 2

Давайте решим эту систему уравнений. Для удобства заменим переменные, чтобы упростить вычисления:

Пусть: a = х + у b = ху

Теперь перепишем систему уравнений с использованием новых переменных:

1. x² + у² + 3xy = 4(a) - 3 ---(1)
2. 2x + 2y = 5 - b ---(2)

Теперь давайте решим систему. Начнем с уравнения (2):

2x + 2y = 5 - b

Мы также знаем, что a = x + y. Теперь заменим x и y в этом уравнении:

2a = 5 - b

Теперь выразим b:

b = 5 - 2a

Теперь у нас есть выражение для b. Теперь подставим его обратно в уравнение (1):

x² + у² + 3xy = 4(a) - 3

Теперь заменим xy на b:

x² + у² + 3b = 4(a) - 3

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 2a = 5 - b
2. x² + у² + 3b = 4(a) - 3

Теперь можем решить систему уравнений. Начнем с первого уравнения:

2a = 5 - b

Подставим значение b:

2a = 5 - (5 - 2a)

Раскроем скобки:

2a = 5 - 5 + 2a

Упростим:

2a = 2a

Уравнение верно для любого значения a. Это говорит нам о том, что уравнение (1) имеет бесконечное количество решений, что соответствует бесконечному количеству точек на плоскости.

Таким образом, система уравнений имеет бесконечное количество решений и представляет собой множество точек на плоскости.