Question

(81x^2-64)(49-x^2)(7x^2+3)>0 (4x-7)(x-9)<0 найдите множество решений неравенства

Answer 1

Метод интервалов.

$2)\; \; (4x-7)(x-9)0\\\\(9x-8)(9x+8)(\underline {7-x})(7+x)(7x^2+3)>0\\\\(9x-8)(9x+8)(\underline {x-7})(x+7)(\underbrace {7x^2+3}_{>0})$

Answer 2

$(81x^{2} -64)(49-x^{2})(7x^{2}+3)>0$

7x² + 3 > 0 при любых значениях x , разделим обе части неравенства на это положительное число и знак неравенства при этом не изменится.

Получим :

(81x² - 64)(49 - x²) > 0

(81x² - 64)(x² - 49) < 0

(9x - 8)(9x + 8)(x - 7)(x + 7) < 0

$9*9(x-\frac{8}{9})(x+\frac{8}{9})(x-7)(x+7)$

    +                  -                   +                    -                   +

_______₀_________₀__________₀_______₀__________

             - 7                - 8/9                 8/9            7

x ∈ (- 7 ; - 8/9) ∪ (8/9 ; 7)

$2)(4x-7)(x-9)$

        +                         -                      +

__________₀___________₀___________

                   1,75                    9

x ∈ (1,75 ; 9)

Answer 3

Для решения неравенства, необходимо выяснить интервалы, на которых выполняется условие неравенства. Мы рассмотрим каждую часть неравенства по отдельности.

1. Рассмотрим первую часть неравенства: $(81x^2-64)(49-x^2)(7x^2+3) > 0$

Для начала найдем значения $x$, при которых каждый из трех множителей равен нулю:

1.1. $81x^2-64 = 0$ $x^2 = \frac{64}{81}$ $x = \pm \frac{8}{9}$

1.2. $49-x^2 = 0$ $x^2 = 49$ $x = \pm 7$

1.3. $7x^2 + 3 = 0$ $7x^2 = -3$ $x^2 = -\frac{3}{7}$ (Нет действительных решений, так как квадрат не может быть отрицательным.)

Теперь мы знаем, что данное неравенство будет выполняться в четырех интервалах между найденными значениями $x$:

Интервал 1: $-\infty < x < -\frac{8}{9}$ Интервал 2: $-\frac{8}{9} < x < -7$ Интервал 3: $-7 < x < 7$ Интервал 4: $7 < x < \frac{8}{9}$ Интервал 5: $\frac{8}{9} < x < +\infty$

2. Теперь рассмотрим вторую часть неравенства: $(4x-7)(x-9) < 0$

Найдем значения $x$, при которых каждый из множителей равен нулю:

2.1. $4x-7 = 0$ $x = \frac{7}{4}$

2.2. $x-9 = 0$ $x = 9$

Теперь мы знаем, что данное неравенство будет выполняться в двух интервалах:

Интервал 6: $\frac{7}{4} < x < 9$ Интервал 7: $x < \frac{7}{4}$

3. Найдем пересечение интервалов из первой и второй части неравенства:

Так как неравенство вида $(A \cdot B) < 0$ выполняется только тогда, когда один из множителей отрицателен, и не выполняется, когда все множители положительны или все множители отрицательны, нам необходимо определить, на каких интервалах знаки каждого множителя из первой части неравенства.

• В интервале 1: Все три множителя отрицательны.
• В интервалах 2 и 4: Один множитель отрицателен, два множителя положительны.
• В интервале 3: Один множитель положителен, два множителя отрицательны.
• В интервале 5: Все три множителя положительны.

Теперь определим, на каких интервалах выполняется неравенство $(4x-7)(x-9) < 0$:

• Неравенство выполняется в интервале 6: $\frac{7}{4} < x < 9$

Теперь, чтобы определить общее множество решений, нам нужно найти пересечение интервалов, где выполняется неравенство из первой и второй части:

Общее множество решений: $\frac{7}{4} < x < \frac{8}{9}$