Question

Найдите область определения функции f (x)= (x^2-2x)^5/4 Помогите, пожалуйста!

Answer 1

$f= \: {( {x}^{2} - 2x) }^{ \frac{5}{4} } = \sqrt[4]{ {( {x}^{2} - 2x )}^{5} }$
так как степень корня парная, значит область определения такой функции опеределяется
$f = \sqrt{x} \\ \geqslant 0$
+ так как наше выражение в степени 5 (не парная) оно может принимать отрицательных значений поэтому, дабы функция была определена наше подкоренное выражение должно быть ≥0
х²-2х≥0
х(х-2)≥0
х0=0
х0=2
методом интервалов :
х Є (-∞;0] [2;+∞)
Это и есть область определения

Answer 2

Чтобы найти область определения функции f(x) = (x^2 - 2x)^(5/4), нужно определить значения x, при которых функция определена и имеет смысл.

В данном случае важно обратить внимание на два момента:

1. Выражение в знаменателе степени должно быть положительным или равным нулю. В данном случае у нас степень равна 5/4, что означает, что корень должен быть действительным и неотрицательным.

2. Избегаем деления на ноль. Это означает, что выражение в знаменателе степени не должно быть равно нулю.

Теперь рассмотрим каждое условие отдельно:

1. Выражение в знаменателе степени не должно быть равно нулю: x^2 - 2x ≠ 0

Это квадратное уравнение можно решить:

x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0

Таким образом, корни уравнения: x = 0 и x = 2.

2. Выражение в знаменателе степени должно быть положительным или равным нулю: x^2 - 2x ≥ 0

Так как мы уже нашли корни уравнения, рассмотрим интервалы между корнями и за пределами этих корней:

a) Если x < 0, то оба множителя (x и x - 2) будут отрицательными, что приведет к положительному значению выражения x^2 - 2x.

b) Если 0 < x < 2, то x положительное, а x - 2 отрицательное. Произведение отрицательного и положительного числа даст отрицательное значение выражения x^2 - 2x.

c) Если x > 2, то оба множителя (x и x - 2) будут положительными, что приведет к положительному значению выражения x^2 - 2x.

Таким образом, функция определена для всех значений x, кроме x = 0 и x = 2. Область определения функции f(x) = (x^2 - 2x)^(5/4) будет интервалом (-∞, 0) объединенным с интервалом (0, 2) объединенным с интервалом (2, +∞):

Область определения: (-∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞)