Question

Решить уравнение: sinx·cosx + cosx·sin2x = 0.

Answer 1

Sin(x) · cos(x) + cos(x) · sin(2x)=0
Надо разложить выражение:
sin(x) · cos(x) + cos(x) · 2sin(х) · cos(x)=0
Вычислить произведение:
sin(x) · cos(x) + 2cos(x)^2 · sin(x)=0
Разложить выражение на множители:
sin(x) · cos(x) · (1+2cos(x))=0
Рассмотреть все возможные случаи:
sin(x)=0
cos(x)=0
1+2cos(x)=0
Решить уравнения:
x=kn, k€z
x=n/2+ kn, k€z
x=2n/3+2kn, k€z
x=4n/3+2kn, k€z
Найти объединение:
х=kn/2, k€z
x=2kn/3, k€z
Окончательное решение:
x={kn/2, k€z
{2kn/3,k€z

Answer 2

Для решения уравнения sinx·cosx + cosx·sin2x = 0, давайте сначала произведем некоторые преобразования, чтобы упростить его:

sinx·cosx + cosx·sin2x = 0

Факторизуем cosx из обоих слагаемых:

cosx (sinx + sin2x) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Чтобы вся формула была равна нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

1. cosx = 0

Для решения уравнения cosx = 0, нам нужно найти все значения x, при которых cosx равен нулю. Значения косинуса равного нулю находятся в точках, где x это кратные числа π/2:

x = π/2, 3π/2, 5π/2, ...

2. sinx + sin2x = 0

Для решения этого уравнения, давайте преобразуем sin2x с помощью формулы двойного аргумента:

sin2x = 2sinx·cosx

Теперь у нас есть:

sinx + 2sinx·cosx = 0

Вынесем sinx за скобки:

sinx(1 + 2cosx) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Один из множителей должен быть равен нулю:

a) sinx = 0

Для решения уравнения sinx = 0, нам нужно найти все значения x, при которых sinx равен нулю. Значения синуса равного нулю находятся в точках, где x это кратные числа π:

x = 0, π, 2π, ...

b) 1 + 2cosx = 0

Теперь решим это уравнение:

2cosx = -1

cosx = -1/2

Для решения уравнения cosx = -1/2, нам нужно найти все значения x, при которых cosx равен -1/2. Значения косинуса равного -1/2 находятся в точках, где x это кратные числа 2π/3 и 4π/3:

x = 2π/3, 4π/3, 8π/3, ...

Таким образом, все решения уравнения sinx·cosx + cosx·sin2x = 0:

x = 0, π/2, π, 2π/3, 3π/2, 4π/3, 5π/2, ...