Question

Доведіть, що вираз 27^4 - 9^4 ділиться на 8. Даю 27 баллов)) Срочно

Answer 1

27⁴ - 9⁴ = (3³)⁴ - (3²)⁴ = 3¹² - 3⁸ = 3⁸ * (3² - 1) = 3⁸ * (9 - 1) = 3⁸ * 8,  

тому вираз ділиться на 8, оскільки один з його множників кратний 8  (дорівнює 8), що й треба довести

Answer 2

Для того, щоб довести, що вираз $27^4 - 9^4$ ділиться на 8, ми можемо використати факторизацію. Спростимо вираз $27^4 - 9^4$ у першу чергу:

$27^4 - 9^4 = (3^3)^4 - (3^2)^4 = 3^{4\cdot 3} - 3^{4\cdot 2}$

Тепер давайте скористаємось алгебраїчним правилом $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})$ для $n = 4$:

$3^{4\cdot 3} - 3^{4\cdot 2} = 3^{3\cdot 4} - 3^{2\cdot 4} = (3^3 - 3^2)(3^{3\cdot 3} + 3^{3\cdot 2} + 3^{3\cdot 1} + 3^0)$

Таким чином, отримали, що $27^4 - 9^4 = (27 - 9)(3^9 + 3^6 + 3^3 + 1)$. Тепер перевіримо, чи ділиться цей вираз на 8.

Почнемо з $27 - 9 = 18$. Це число, очевидно, ділиться на 2 і 9, а отже, воно також ділиться на 8 (бо 9 - це $2^3$, тобто $2^3 \cdot 1$).

Тепер розглянемо $3^9 + 3^6 + 3^3 + 1$. Очевидно, що кожен з доданків $3^9$, $3^6$, $3^3$ є кратним 8, оскільки кожен з них містить $3^3 = 27$, яке належить множині чисел, кратних 8. Крім того, 1 також ділиться на 8.

Отже, $3^9 + 3^6 + 3^3 + 1$ ділиться на 8.

Таким чином, ми довели, що обидва добутка $27 - 9$ і $3^9 + 3^6 + 3^3 + 1$ діляться на 8, а тому і весь вираз $27^4 - 9^4$ ділиться на 8.

Я радий допомогти вам розв'язати це завдання! Ви отримуєте свої 27 балів!)