Question

Дослідити функцію та побудувати її графік f(x)=4+5x-x^2

Answer 1

Пересічення з віссю координат(0,4)

Answer 2

Щоб дослідити функцію та побудувати графік, спочатку розглянемо функцію f(x) = 4 + 5x - x^2.

1. Знайдемо перші три похідних функції f(x):

   Похідна першого порядку: f'(x) = d/dx(4 + 5x - x^2) = 5 - 2x.

   Похідна другого порядку: f''(x) = d/dx(5 - 2x) = -2.

   Похідна третього порядку: f'''(x) = d/dx(-2) = 0.

2. Знайдемо точки перетину з осями координат, які називаються коренями функції (тобто значення x, при яких f(x) = 0):

   4 + 5x - x^2 = 0.

   Для знаходження коренів, розв'яжемо це рівняння:

   x^2 - 5x - 4 = 0.

   Застосуємо квадратне рівняння:

   x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1).

   x = (5 ± √(25 + 16)) / 2.

   x = (5 ± √41) / 2.

   Отже, маємо два корені: x₁ = (5 + √41) / 2 ≈ 3.791 та x₂ = (5 - √41) / 2 ≈ 1.209.

3. Знайдемо точку вершини параболи, де f'(x) = 0:

   5 - 2x = 0.

   2x = 5.

   x = 5/2 = 2.5.

   Підставимо це значення x у функцію, щоб знайти відповідне значення y:

   f(2.5) = 4 + 5 * 2.5 - (2.5)^2 = 4 + 12.5 - 6.25 = 10.25.

   Отже, вершина параболи знаходиться у точці (2.5, 10.25).

4. Визначимо інтервали зростання та спадання функції:

   З точки знання знаків похідної:

   • Функція зростає, коли f'(x) > 0.
   • Функція спадає, коли f'(x) < 0.

   Значення похідної f'(x) має змінити знак при x = 5/2 ≈ 2.5 (точка вершини параболи).

   Таким чином, інтервал зростання: (мінус нескінченність, 2.5). Інтервал спадання: (2.5, плюс нескінченність).

5. Визначимо значення функції в точках, які не є критичними:

   • Значення функції при x = 0: f(0) = 4 + 5 * 0 - 0^2 = 4.

   • Значення функції при x = 4: f(4) = 4 + 5 * 4 - 4^2 = 4 + 20 - 16 = 8.

6. Побудуємо графік функції f(x):

   Графік параболи відображатиметься вниз, оскільки коефіцієнт при x^2 є від'ємним.

   

На графіку видно, що функція є параболою, відкритою вниз, і має вершину в точці (2.5, 10.25). Також, функція перетинає ось ординат у точках (0, 4) і (4, 8), а два корені рівняння x₁ ≈ 3.791 та x₂ ≈ 1.209 відповідають точкам перетину з віссю абсцис. Інтервали зростання та спадання також показані на графіку.

Таким чином, ми дослідили функцію f(x) = 4 + 5x - x^2 та побудували її графік.