Question

Составьте уравнения касательных к параболе y=2x²-3x-6, проходящих через точку (-1; -33).

Answer 1

Пусть (x₀; y₀) - точка касания. Тогда известно, что касательные проходят через точки (-1; -33) и (x₀: y₀). Составим систему уравнений:

$-\left \{ \begin{array}{I} y_0=kx_0+b \\ -33=-k+b \end{array}$

$y_0+33=k(x_0+1)$

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания

$y'=4x-3 \ \ \Rightarrow \ \ k=4x_0-3$

Подставляем

$y_0+33=(4x_0-3)(x_0+1) \\ y_0+33=4x_0^2-3x_0+4x_0-3 \\ y_0=4x_0^2+x_0-36$

Точка касания лежит на параболе, а значит можно добавить еще одно уравнение.

$-\left \{ \begin{array}{I} y_0=4x_0^2+x_0-36 \\ y_0=2x_0^2-3x_0-6 \end{array}$

$2x_0^2+4x_0-30=0 \\ x_0^2+2x_0-15=0 \\ \frac{D}{4}=1+15=16=4^2 \\ x_0=-1\pm4=\left[\begin{array}{I} 3 \\ -5 \end{array}$

Осталось составить уравнения касательных

$y_{kac1}=2\cdot9-3\cdot 3-6+(4 \cdot 3-3)(x-3)=9x-24 \\ y_{kac2}=2 \cdot 25+3 \cdot 5-6+(-4 \cdot 5-3)(x+5)=-23x-56$

Ответ: y=9x-24, y=-23x-56

Answer 2

Для нахождения уравнений касательных к параболе, проходящих через заданную точку, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y = 2x² - 3x - 6.

2. Найдем значение производной в точке x = -1, чтобы получить угловой коэффициент касательной в данной точке.

3. Используем найденный угловой коэффициент и заданную точку, чтобы составить уравнение касательной в точке (-1; -33).

4. Найдем производную функции y = 2x² - 3x - 6: dy/dx = d/dx(2x²) - d/dx(3x) - d/dx(6) dy/dx = 4x - 3

5. Найдем значение производной в точке x = -1: dy/dx = 4(-1) - 3 = -4 - 3 = -7

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке (-1; -33) равен -7.

3. Используем найденный угловой коэффициент и заданную точку (-1; -33), чтобы составить уравнение касательной:

Уравнение касательной имеет форму y - y₁ = m(x - x₁), где (x₁, y₁) - заданная точка, m - угловой коэффициент.

Подставляем значения: y - (-33) = -7(x - (-1))

Упростим: y + 33 = -7(x + 1)

Раскроем скобки: y + 33 = -7x - 7

Перенесем все на одну сторону: y = -7x - 7 - 33 y = -7x - 40

Итак, уравнение касательной к параболе y = 2x² - 3x - 6, проходящей через точку (-1; -33), имеет вид y = -7x - 40.