Question

Докажите , что значение выражения 27^4 - 9^5 кратно 8

Answer 1

27⁴-9⁵≡3⁴-1⁵(mod 8)=9²-1≡1²-1(mod 8)=0

27⁴-9⁵ сравнимо с 0 по модулю 8, а это и означает, что (27⁴-9⁵) ⋮ 8

Ч.т.д.

_____________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения $27^4 - 9^5$ кратно 8, нужно показать, что это выражение делится на 8 без остатка.

Для начала, разложим $27^4$ и $9^5$ на множители:

$27^4 = (3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12}$

$9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$

Теперь, выражение можно переписать в следующем виде:

$27^4 - 9^5 = 3^{12} - 3^{10}$

Теперь, факторизуем это выражение:

$27^4 - 9^5 = 3^{10}(3^2 - 1)$

Мы знаем, что $3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.

Теперь мы видим, что $27^4 - 9^5 = 3^{10} \cdot 8$.

Заметим, что $3^{10}$ является целым числом (поскольку 10 - целое число), и 8 - кратно 8.

Таким образом, $27^4 - 9^5 = 3^{10} \cdot 8$ делится на 8 без остатка.

Мы успешно доказали, что значение выражения $27^4 - 9^5$ кратно 8.