Question

√4x+1>7 Пж помогите решить , подробно

Answer 1

$\sqrt{4x+1}>7\\\\4x+1>7^{2}\\\\4x+1>49\\\\4x>48\\\\x>12$

Ответ : x ∈ (12 , + ∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно следующее:

√(4x + 1) > 7

Для начала, перенесем 7 на левую сторону, чтобы получить все слагаемые на одной стороне:

√(4x + 1) - 7 > 0

Теперь нам нужно избавиться от корня. Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе стороны неравенства в квадрат:

(√(4x + 1) - 7)² > 0

(4x + 1 - 7*√(4x + 1) + 49) > 0

Теперь у нас есть квадратный трехчлен, которые нам нужно решить. Переносим все слагаемые на левую сторону:

4x - 7*√(4x + 1) + 50 > 0

На данном этапе давайте обозначим √(4x + 1) за u, чтобы сделать запись проще:

u = √(4x + 1)

Теперь неравенство примет вид:

4x - 7u + 50 > 0

Теперь решим квадратное неравенство относительно u. Для этого найдем вершины и определим знак ветвей.

Для квадратного трехчлена вида au² + bu + c нам известно, что вершина имеет абсциссу x = -b / (2a) и ординату y = c - b² / (4a).

В нашем случае коэффициенты a и b равны:

a = 4 b = -7

Теперь находим абсциссу вершины:

x = -(-7) / (2 * 4) = 7/8

Теперь находим ординату вершины:

y = 4 * (7/8)² - 7 * (7/8) + 50 = 4 * 49/64 - 49/8 + 50 = 196/64 - 392/64 + 3200/64 = 3004/64 = 47

Таким образом, вершина имеет координаты (7/8, 47).

Теперь зная, что вершина лежит выше ветвей (так как коэффициент a положителен), мы можем сделать вывод, что неравенство выполняется в двух интервалах:

1. u < 7/8
2. u > 7/8

Теперь восстановим u через √(4x + 1):

1. √(4x + 1) < 7/8

Возводим обе стороны неравенства в квадрат, но помним, что при возведении в квадрат неравенства с отрицательным числом меняется знак на противоположный:

4x + 1 < (7/8)²

4x + 1 < 49/64

Теперь избавимся от 1:

4x < 49/64 - 1

4x < 49/64 - 64/64

4x < -15/64

x < -15/64 * 1/4

x < -15/256

2. √(4x + 1) > 7/8

Возводим обе стороны неравенства в квадрат:

4x + 1 > (7/8)²

4x + 1 > 49/64

Теперь избавимся от 1:

4x > 49/64 - 1

4x > 49/64 - 64/64

4x > -15/64

x > -15/64 * 1/4

x > -15/256

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение двух интервалов:

x < -15/256 или x > -15/256