Question

Угол между векторами a и b равен 150°, и |a|=3, |b|=2 корня из 3. Найти скалярное произведение векторов m=a-2b и 3а+4b. Помогите, пожалуйста, подробно.

Answer 1

$|\vec{a}|=3\; ,\; \; |\vec{b}|=2\sqrt3\; ,\; \; \alpha =\angle (\vec{a},\vec{b})=150^\circ \\\\\vec{m}\cdot \vec{n}=(\vec{a}-2\vec{b})\cdot (3\vec{a}+4\vec{b})=\vec{a}\cdot 3\vec{a}+\vec{a}\cdot 4\vec{b}-2\vec{b}\cdot 3\vec{a}-2\vec{b}\cdot 4\vec{b}=\\\\=3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+4\vec{a}\cdot \vec{b}-6\underbrace {\vec{b}\cdot \vec{a}}_{\vec{a}\cdot \vec{b}}-8\vec{b}\cdot \vec{b}=3\cdot \vec{a}^2-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-8\cdot \vec{b}^2=\\\\=3\cdot |\vec{a}|^2-2\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\alpha -8\cdot |\vec{b}|^2=$

$=3\cdot 9-2\cdot 3\cdot 2\sqrt3\cdot cos(180^\circ -30^\circ )-8\cdot 4\cdot 3=\\\\=27-12\sqrt3\cdot (-cos30^\circ )-96=-69+12\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=-69+18=-51$

Answer 2

Для нахождения скалярного произведения векторов m = a - 2b и 3a + 4b, нам понадобятся две вещи: значения самих векторов m и 3a + 4b, а также значение угла между векторами m и 3a + 4b.

Давайте начнем с нахождения векторов m и 3a + 4b.

1. Найдем вектор m: m = a - 2b

У нас уже есть значения векторов a и b: |a| = 3 |b| = 2√3

Теперь найдем единичные векторы a_hat и b_hat, которые имеют ту же направляющую линию, что и векторы a и b, но их длина равна 1:

a_hat = a / |a| a_hat = a / 3

b_hat = b / |b| b_hat = b / (2√3)

Теперь найдем вектор m:

m = a - 2b m = 3 * a_hat - 2 * (2√3) * b_hat

2. Найдем вектор 3a + 4b:

3a + 4b = 3 * a_hat + 4 * b_hat 3a + 4b = 3 * (a / 3) + 4 * (b / (2√3))

Теперь, когда у нас есть векторы m и 3a + 4b, давайте найдем их скалярное произведение. Напомним, что скалярное произведение векторов a и b определяется следующим образом:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а θ - угол между ними.

3. Найдем угол между векторами m и 3a + 4b:

cos(θ) = (m · (3a + 4b)) / (|m| * |3a + 4b|)

Теперь найдем скалярное произведение m · (3a + 4b) и длины |m| и |3a + 4b|:

|m| = |a - 2b| |m| = √((a - 2b) · (a - 2b)) |m| = √(a · a - 4 * a · b + 4 * b · b) |m| = √(3^2 - 4 * 3 * 2√3 + 4 * (2√3)^2)

|m| = √(9 - 24√3 + 4 * 3 * 3) |m| = √(9 - 24√3 + 36) |m| = √(45 - 24√3)

|m| = √(9(5 - 2√3))

|m| = 3√(5 - 2√3)

|3a + 4b| = |3 * a_hat + 4 * b_hat| |3a + 4b| = 3 * |a_hat| + 4 * |b_hat| |3a + 4b| = 3 * 1 + 4 * 1 |3a + 4b| = 7

4. Найдем cos(θ):

cos(θ) = (m · (3a + 4b)) / (|m| * |3a + 4b|) cos(θ) = (3 * a_hat - 2 * (2√3) * b_hat) · (3 * a_hat + 4 * b_hat) / (3√(5 - 2√3) * 7)

Теперь умножим векторы:

(a_hat · a_hat) = 1 (единичный вектор a_hat) (b_hat · b_hat) = 1 (единичный вектор b_hat)

(a_hat · b_hat) = 0 (единичные векторы a_hat и b_hat перпендикулярны)

Теперь упростим cos(θ):

cos(θ) = (3 * 1 - 2 * 0) / (3√(5 - 2√3) * 7) cos(θ) = 3 / (3√(5 - 2√3) * 7)

Теперь можем найти скалярное произведение m · (3a + 4b):

m · (3a + 4b) = |m| * |3a + 4b| * cos(θ) m · (3a + 4b) = (3√(5 - 2√3)) * 7 * (3 / (3√(5 - 2√3) * 7))

Заметим, что 3√(5 - 2√3) и 7 сокращаются:

m · (3a + 4b) = 3

Таким образом, скалярное произведение векторов m = a - 2b и 3a + 4b равно 3.