Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x(в квадрате) - 4x + 7,y = 0, x=0, x =1

Answer 1

$\Large \displaystyle \int\limits_{0}^{1} {(x^2 - 4x + 7)} \, dx = (\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 7x)\Big|^{1}_{0} = \frac{1}{3} - 2 + 7 - 0 = \frac{16}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно сначала определить точки их пересечения, а затем рассчитать площадь между этими линиями.

1. Найдем точки пересечения линии y = x^2 - 4x + 7 и оси x (y = 0): Подставим y = 0 в уравнение y = x^2 - 4x + 7 и решим уравнение относительно x:

0 = x^2 - 4x + 7 Для решения квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac где a = 1, b = -4, c = 7

D = (-4)^2 - 4 * 1 * 7 = 16 - 28 = -12

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет комплексные корни, и линия y = x^2 - 4x + 7 не пересекает ось x. Таким образом, фигура ограничена кривой y = x^2 - 4x + 7 полностью находится выше оси x и не имеет точек пересечения с ней.

2. Теперь найдем точки пересечения линий x = 0 и x = 1 с осью x (y = 0):

• Линия x = 0 пересекает ось x в точке (0, 0).
• Линия x = 1 также пересекает ось x в точке (1, 0).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^2 - 4x + 7 и осью x, отнимем площадь под кривой на интервале [0, 1] от площади прямоугольника с вершинами в точках (0, 0) и (1, 0):

Площадь фигуры = Площадь под кривой - Площадь прямоугольника

1. Площадь под кривой: ∫(от 0 до 1) (x^2 - 4x + 7) dx Вычислим интеграл: ∫(от 0 до 1) (x^2 - 4x + 7) dx = [(x^3/3) - 2x^2 + 7x] (от 0 до 1) = [(1/3) - 2 + 7] - [(0/3) - 0 + 0] = (1/3) + 5 = 16/3

2. Площадь прямоугольника: Длина = 1 - 0 = 1 Ширина = 0 - 0 = 0

Площадь прямоугольника = Длина * Ширина = 1 * 0 = 0

Теперь вычтем площадь прямоугольника из площади под кривой:

Площадь фигуры = 16/3 - 0 = 16/3 или примерно 5.33 квадратных единиц.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^2 - 4x + 7, осью x, и линиями x = 0 и x = 1, составляет приблизительно 5.33 квадратных единиц.