Question

Докажите, что многочлен от двух переменных f(x,y)=(xy)^3+1 нельзя представить в виде произведения двух многочленов – одного от x и другого от y

Answer 1

Пусть $f(x,y)=(xy)^3+1=g(x)h(y)\Rightarrow f(0,y)=1=g(0)h(y);\ f(x,0)=1=g(x)h(0).$ Поэтому g(x) и h(y) - константы, и f(x,y) не может быть их произведением.

Answer 2

Допустим, что многочлен f(x, y) можно представить в виде произведения двух многочленов: f(x, y) = g(x) * h(y), где g(x) - многочлен от x, h(y) - многочлен от y.

Тогда, посмотрим на степень обеих сторон равенства.

Степень многочлена f(x, y) равна степени его максимального монома. Максимальный моном в данном многочлене - это (xy)^3. Следовательно, степень f(x, y) равна 3.

Степень многочлена g(x) * h(y) равна сумме степеней мономов, входящих в произведение. Поскольку g(x) и h(y) - это многочлены первой степени, то степень каждого из них равна 1.

Теперь предположим, что существуют такие многочлены g(x) и h(y), которые удовлетворяют условию f(x, y) = g(x) * h(y). Тогда их степени должны удовлетворять равенству:

степень g(x) + степень h(y) = 3.

У нас есть всего два многочлена первой степени: g(x) и h(y). Так как их степени не могут быть больше 1, то их сумма также не может быть больше 1.

Таким образом, равенство степеней, которое должно быть верно для произведения g(x) * h(y), не выполняется для нашего многочлена f(x, y) = (xy)^3 + 1.

Следовательно, многочлен f(x, y) = (xy)^3 + 1 нельзя представить в виде произведения двух многочленов - одного от x и другого от y.