Question

Решите, пожалуйста, с объяснением. Доказать, что значение выражения 27^5 - 9^6 делится на 26.

Answer 1

${27}^{5} - {9}^{6} = {3}^{15} - {3}^{12} = {3}^{12} ( {3}^{3} - 1) = \\ {3}^{12} \cdot 26$
разность состоит из множителей 3 и 26, следовательно оно делится на 26

Answer 2

Чтобы доказать, что значение выражения $27^5 - 9^6$ делится на 26, мы можем использовать свойства арифметики и деления.

Обратим внимание на следующие свойства:

1. $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})$ - формула разности степеней.
2. Если $a$ делится на $b$, то $a^n$ также делится на $b$ для любого целого $n$ (свойство делимости).

Теперь рассмотрим выражение $27^5 - 9^6$:

$27^5 - 9^6 = (27)^5 - (3^2)^6 = (3^3)^5 - (3^2)^6 = 3^{15} - 3^{12}$

Мы применили свойство $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

Теперь применим формулу разности степеней:

$3^{15} - 3^{12} = 3^{12}(3^3 - 1)$

Теперь выражение приведено к виду $3^{12}(3^3 - 1)$. Заметим, что $3^3 - 1 = 27 - 1 = 26$.

Таким образом, $3^{15} - 3^{12} = 3^{12} \cdot 26$.

Теперь обратимся к свойству делимости и увидим, что $3^{12}$ делится на 26 (так как $3^{12}$ делится на $3^2$ и $26 = 2 \cdot 13$).

Следовательно, $(27^5 - 9^6)$ делится на 26.