Question

Найти сумму корней (корень, если он единственный) уравнения ^3√7х-6 + ^3√5х+17 = 5. Все корни 3 степени.

Answer 1

Использование монотонности функций. Левая часть уравнения возрастающая функция, а правая – число, т.е. константа, следовательно, уравнение имеет не более одного корня, который подберём: х=2. Проверкой убедимся, что корень подходит.

Ответ: х=2

Answer 2

Для начала, решим уравнение ^3√(7x - 6) + ^3√(5x + 17) = 5.

Обозначим ^3√(7x - 6) за a и ^3√(5x + 17) за b. Тогда уравнение примет вид:

a + b = 5

Теперь возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от кубических корней:

(a + b)^3 = 5^3 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 125

Теперь подставим значения a и b:

(^3√(7x - 6))^3 + 3 * (^3√(7x - 6))^2 * (^3√(5x + 17)) + 3 * (^3√(7x - 6)) * (^3√(5x + 17))^2 + (^3√(5x + 17))^3 = 125

Упростим:

7x - 6 + 3 * (^3√(7x - 6))^2 * (^3√(5x + 17)) + 3 * (^3√(7x - 6)) * (^3√(5x + 17))^2 + 5x + 17 = 125

Так как a + b = 5, то (^3√(7x - 6))^3 + (^3√(5x + 17))^3 = 125 - 5 = 120

Теперь выразим отдельно (^3√(7x - 6))^3 и (^3√(5x + 17))^3:

(^3√(7x - 6))^3 = 120 - (^3√(5x + 17))^3

Теперь возведем обе части уравнения (^3√(7x - 6))^3 = 120 - (^3√(5x + 17))^3 в куб, чтобы избавиться от кубических корней:

7x - 6 = (120 - (^3√(5x + 17))^3)^3

Теперь решим полученное уравнение:

(120 - (^3√(5x + 17))^3)^3 + 6 = 7x

Теперь найдем значение (^3√(5x + 17))^3:

(^3√(5x + 17))^3 = 120 - ((7x - 6)/7)^3

Теперь найдем значение 5x + 17:

5x + 17 = ((120 - ((7x - 6)/7)^3)^(1/3))^3

Теперь найдем значение x:

x = (((120 - ((7x - 6)/7)^3)^(1/3))^3 - 17)/5

На данном этапе мы получили уравнение с кубическим корнем, которое может быть решено численными методами. Мы не можем найти точное аналитическое решение для этого уравнения, но можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы приближенно найти значение x.