Question

Решите неравенство методом интервалов заменяя множители в числителе и знаменателе более простыми множителями того же знака (2x+1)^10+(5x+4)^5/(4x+1)^8-(3x+4)^8<=0

Answer 1

Ответ на фото /////////:::

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство методом интервалов, начнем с анализа знаков числителя и знаменателя выражения.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1. (2x+1)^10 Поскольку степень четная, выражение всегда будет неотрицательным.

2. (5x+4)^5 Поскольку степень нечетная, знак будет зависеть от значения выражения (5x+4). Когда (5x+4) > 0, выражение будет положительным, и когда (5x+4) < 0, оно будет отрицательным.

3. (4x+1)^8 Поскольку степень четная, выражение всегда будет неотрицательным.

4. (3x+4)^8 Поскольку степень четная, выражение всегда будет неотрицательным.

Теперь давайте проанализируем значения x, при которых каждое из выражений (1), (2), (3) и (4) будет равно нулю.

1. (2x+1)^10 = 0 Это уравнение не имеет действительных корней, так как (2x+1) не может быть равным нулю.

2. (5x+4)^5 = 0 Это уравнение имеет один действительный корень: (5x+4) = 0 => x = -4/5.

3. (4x+1)^8 = 0 Это уравнение не имеет действительных корней, так как (4x+1) не может быть равным нулю.

4. (3x+4)^8 = 0 Это уравнение не имеет действительных корней, так как (3x+4) не может быть равным нулю.

Теперь мы можем построить интервалы, в которых будут меняться знаки каждого из слагаемых:

1. Для (5x+4)^5:

   • Если x < -4/5, то (5x+4) < 0, и выражение будет отрицательным.
   • Если x > -4/5, то (5x+4) > 0, и выражение будет положительным.

2. Для (2x+1)^10 и (4x+1)^8:

   • Выражения всегда неотрицательны, независимо от значения x.

Теперь построим таблицу знаков для числителя и знаменателя неравенства:

x	(2x+1)^10	(5x+4)^5	(4x+1)^8	(3x+4)^8	Числитель	Знаменатель	Неравенство
x < -4/5	Неотрицат.	Отрицат.	Неотрицат.	Неотрицат.	Отрицат.	Неотрицат.	Неверно
-4/5 < x < 0	Неотрицат.	Положит.	Неотрицат.	Неотрицат.	Положит.	Неотрицат.	Верно
x > 0	Неотрицат.	Положит.	Неотрицат.	Неотрицат.	Положит.	Неотрицат.	Верно

Из таблицы видно, что неравенство выполняется для интервала -4/5 < x < 0.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал -4/5 < x < 0.