Question

Постройте график функции y=x^2+7 .Найдите значения b, при которых прямая y=bx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Answer 1

График функции $y=x^2+7$ получается из графика стандартной параболы сдвигом вверх на 7 единиц по оси ординат (см. рис)

Найдем точки пересечения заданной квадратичной функции и прямой y = bx, приравняв их:

$x^2+7=bx\\x^2-bx+7=0$

У получившегося квадратного трехчлена будет одно решение, а следовательно и и одна точка пересечения параболы и прямой при дискриминанте равном 0:

$D=b^2-4*1*7=b^2-28=0\\b^2=28\\b=\pm 2\sqrt{7}$

Answer 2

Для начала, построим график функции y = x^2 + 7:

График функции y = x^2 + 7 представляет собой параболу, направленную вверх и смещенную вверх на 7 единиц относительно оси x. Общая точка прямой y = bx с этим графиком возникает тогда и только тогда, когда прямая касается параболы в одной единственной точке.

Точка касания параболы и прямой имеет две характеристики:

1. Координаты x точки касания.
2. Координаты y точки касания.

Для нахождения значения b, при котором прямая y = bx касается параболы y = x^2 + 7 в одной общей точке, мы должны решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и уравнения прямой.

Система уравнений:

1. y = x^2 + 7
2. y = bx

Так как обе формулы равны y, мы можем их сравнить и приравнять:

x^2 + 7 = bx

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает x и b. Нам нужно найти такие значения b, при которых у этого уравнения будет только одно решение для x (т. е. прямая касается параболы в одной точке).

Для этого уравнения, чтобы иметь единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:

Дискриминант (D) равен: D = b^2 - 4ac

где a = 1 (коэффициент перед x^2), b - неизвестное значение b (коэффициент перед x), и c = -7 (свободный член).

Теперь приравняем дискриминант к нулю:

b^2 - 4ac = 0 b^2 - 4(1)(-7) = 0 b^2 + 28 = 0 b^2 = -28

Так как b^2 не может быть отрицательным (полный квадрат никогда не может быть отрицательным числом), то у этого уравнения нет решения для b. Это означает, что нет значения b, при котором прямая y = bx имеет ровно одну общую точку с графиком функции y = x^2 + 7. Прямая y = bx либо не пересекает параболу вообще, либо пересекает её более чем в одной точке.