Question

Помогите пожалуйста найти область значений функции y=3(sinx)^2+2(cosx)^2

Answer 1

Y=3sin²x+2cos²x

y=2sin²x+2cos²x+sin²x=2+sin²x

sinx€[-1;1]
sin²x€[-1;1]
-1≤sin²x≤1
1≤2+sin²x≤3
y€[1;3]

Answer 2

Для нахождения области значений функции y = 3(sin(x))^2 + 2(cos(x))^2, нужно выяснить, какие значения может принимать эта функция при изменении аргумента x.

Обратим внимание на следующие факты:

1. Так как синус и косинус являются периодическими функциями, значения (sin(x))^2 и (cos(x))^2 всегда находятся в диапазоне [0, 1]. Это происходит потому, что значение синуса и косинуса всегда находится между -1 и 1, а возведение в квадрат не меняет знак и ограничивает значения сверху нулем.

2. Значения (sin(x))^2 и (cos(x))^2 будут достигать нижней границы 0, когда синус или косинус равны 0, и достигать верхней границы 1, когда синус или косинус равны 1 или -1.

Теперь рассмотрим функцию y = 3(sin(x))^2 + 2(cos(x))^2:

y = 3(sin(x))^2 + 2(cos(x))^2 = 3(sin(x))^2 + 2(1 - (sin(x))^2) (по тригонометрическому тождеству sin^2(x) + cos^2(x) = 1) = 3(sin(x))^2 + 2 - 2(sin(x))^2 = 2 + (sin(x))^2

Таким образом, функция y = 3(sin(x))^2 + 2(cos(x))^2 сводится к функции y = 2 + (sin(x))^2.

Синус всегда находится в диапазоне [-1, 1], и когда его возводят в квадрат, получаются значения в диапазоне [0, 1].

Таким образом, область значений функции y = 3(sin(x))^2 + 2(cos(x))^2 или y = 2 + (sin(x))^2 - это все значения, которые находятся в диапазоне [2, 3].