Question

Равносильно ли следующее неравенство? x+2>28x/4x-3 и (x+2)(4x-3)>28x

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и проверим их равносильность.

1. Неравенство: x + 2 > 28x / (4x - 3)

Для начала, давайте избавимся от знаменателя, умножив обе стороны неравенства на (4x - 3):

(4x - 3) * (x + 2) > 28x

Раскроем скобки:

4x^2 + 8x - 3x - 6 > 28x

Упростим:

4x^2 + 5x - 6 > 28x

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:

4x^2 + 5x - 28x - 6 > 0

4x^2 - 23x - 6 > 0

Теперь давайте найдем корни квадратного уравнения 4x^2 - 23x - 6 = 0:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 4, b = -23, c = -6

x = (23 ± √((-23)^2 - 4 * 4 * -6)) / 2 * 4

x = (23 ± √(529 + 96)) / 8

x = (23 ± √625) / 8

x = (23 ± 25) / 8

Таким образом, корни уравнения равны:

x1 = (23 + 25) / 8 = 48 / 8 = 6 x2 = (23 - 25) / 8 = -2 / 8 = -0.25

Теперь рассмотрим знак выражения 4x^2 - 23x - 6 в интервалах между корнями и за пределами них.

1.1. x < -0.25: Для x < -0.25 оба корня находятся слева от x, поэтому 4x^2 - 23x - 6 будет положительным (больше нуля).

1.2. -0.25 < x < 6: Для -0.25 < x < 6 один корень находится слева от x, а второй — справа от x. Мы можем проверить значения в промежутках, чтобы определить знак выражения.

Давайте проверим значения в точках x = 0 и x = 5:

• При x = 0: 4 * 0^2 - 23 * 0 - 6 = -6 (меньше нуля)
• При x = 5: 4 * 5^2 - 23 * 5 - 6 = 20 (больше нуля)

Таким образом, выражение положительно в интервале -0.25 < x < 6.

1.3. x > 6: Для x > 6 оба корня находятся справа от x, поэтому 4x^2 - 23x - 6 будет положительным (больше нуля).

Таким образом, неравенство 4x^2 - 23x - 6 > 0 выполнено в интервалах (-∞, -0.25) и (6, +∞), что означает, что исходное неравенство x + 2 > 28x / (4x - 3) также выполнено в этих интервалах.

2. Неравенство: (x + 2)(4x - 3) > 28x

Давайте раскроем скобки:

4x^2 - 3x + 8x - 6 > 28x

4x^2 + 5x - 6 > 28x

Упростим:

4x^2 - 23x - 6 > 0

Такое же неравенство, как в предыдущем случае, получилось 4x^2 - 23x - 6 > 0.

Следовательно, оба неравенства x + 2 > 28x / (4x - 3) и (x + 2)(4x - 3) > 28x равносильны и имеют одно и то же решение, которое мы определили выше: x < -0.25, -0.25 < x < 6 и x > 6.