Question

Помогите пожалуйста с алгеброй 1. Представить в виде произведения: а) cos(α-β)-cos(α+β) b) sin2α + cos2α +1 2. Найти решение уравнения sin x/3=-1/2 на отрезке [0;3π]

Answer 1

a) cos(a-b) - cos(a+b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) - (cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) - cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) = 2sin(a)*sin(b)

b) sin(2a) + cos(2a) + 1 = 2*sin(a)*cos(a) + cos²(a) - sin²(a) + cos²(a) + sin²(a) = 2*sin(a)*cos(a) + 2*cos²(a) = 2*cos(a)*(sin(a) + cos(a))

sin($\frac{x}{3}$) = -$\frac{1}{2}$

$\frac{x}{3}$ = arcsin(-$\frac{1}{2}$) + 2πκ, κ∈Ζ

или

$\frac{x}{3}$ = π - arcsin(-$\frac{1}{2}$) + 2πn, n∈Ζ

$\frac{x}{3}$ = -$\frac{\pi}{6}$ + 2πκ, κ∈Ζ

$\frac{x}{3}$ = π + $\frac{\pi}{6}$ + 2πn, n∈Ζ

$\frac{x}{3}$ = $\frac{7\pi}{6}$ + 2πn, n∈Ζ

x₁ = -$\frac{\pi}{2}$ + 6πκ, κ∈Ζ

x₂ = $\frac{7\pi}{2}$ + 6πn, n∈Ζ

Отбор корней произведем с помощью неравенств.

x₁: 0 ≤  -$\frac{\pi}{2}$ + 6πκ ≤ 3π

$\frac{\pi}{2}$ ≤ 6πκ ≤ 3π + $\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$ ≤ 6πκ ≤ $\frac{7\pi}{2}$

$\frac{1}{2}$ ≤ 6κ ≤ $\frac{7}{2}$

$\frac{1}{12}$ ≤ κ ≤ $\frac{7}{12}$

Так как κ∈Ζ, то  κ∈∅

x₂: 0 ≤  $\frac{7\pi}{2}$ + 6πn ≤ 3π

-$\frac{7\pi}{2}$ ≤  6πn ≤ 3π - $\frac{7\pi}{2}$

-$\frac{7\pi}{2}$ ≤  6πn ≤ - $\frac{\pi}{2}$

-$\frac{7}{2}$ ≤  6n ≤ - $\frac{1}{2}$

-$\frac{7}{12}$ ≤  n ≤ - $\frac{1}{12}$

Так как n∈Ζ, то  n∈∅ ⇒ нет корней на данном промежутке

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи.

1. Представление в виде произведения:

а) Для выражения cos(α-β) - cos(α+β) применим формулу разности косинусов:

cos(α-β) - cos(α+β) = cosαcosβ + sinαsinβ - (cosαcosβ - sinαsinβ)

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

cos(α-β) - cos(α+β) = cosαcosβ + sinαsinβ - cosαcosβ + sinαsinβ

Теперь видно, что первое и последнее слагаемые уничтожаются, остается:

cos(α-β) - cos(α+β) = 2sinαsinβ

б) Для выражения sin^2α + cos^2α + 1 воспользуемся тригонометрическим тождеством:

sin^2α + cos^2α = 1

Тогда:

sin^2α + cos^2α + 1 = 1 + 1 = 2

Ответ: а) 2sinαsinβ; б) 2.

2. Решение уравнения sin(x/3) = -1/2 на отрезке [0;3π]:

Для того чтобы найти решение, приведем уравнение к виду sinθ = -1/2, где θ = x/3:

sinθ = -1/2

Рассмотрим значения синуса на интервале [0; 2π]:

sin(π/6) = 1/2 sin(5π/6) = 1/2

Так как у нас sinθ = -1/2, то θ должен быть равен π/6 или 5π/6 (или иметь такой же синус с учетом периодичности синуса).

Теперь, чтобы найти значения x, подставим найденные значения θ:

1. x/3 = π/6

x = 3 * (π/6) = π/2

2. x/3 = 5π/6

x = 3 * (5π/6) = 5π/2

Но у нас есть ограничение, что x должен лежать на отрезке [0; 3π]. Поэтому из найденных значений только x = π/2 удовлетворяет данному условию.

Ответ: x = π/2.