Question

Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у=√x, х=1, х=4, вокруг оси Ox.

Answer 1

V=π*$(y²)dx=$xdx=π*x²/2 ( 1 4)=

π*(16/2-1/2)=π*15/2=7,5π

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Этот метод подразумевает разбиение фигуры на бесконечно малые полоски, каждую из которых можно представить в виде цилиндра. Затем интегрируем объем каждого такого цилиндра для получения общего объема тела.

Формула для объема цилиндрической оболочки: $V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx,$ где $f(x)$ - функция, определяющая верхнюю границу фигуры, $a$ и $b$ - пределы интегрирования.

В данном случае $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 1$, $b = 4$. Теперь можем вычислить объем:

$V = 2\pi \int_{1}^{4} x \cdot \sqrt{x} \, dx$

Проинтегрируем:

$V = 2\pi \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \, dx$

Для интегрирования, увеличим показатель степени на 1 и поделим на новый показатель:

$V = 2\pi \cdot \frac{2}{5} \cdot x^{\frac{5}{2}} \Bigg|_{1}^{4}$

Вычислим значения:

$V = \frac{4\pi}{5} \cdot \left(4^{\frac{5}{2}} - 1^{\frac{5}{2}}\right)$ $V = \frac{4\pi}{5} \cdot \left(32 - 1\right)$ $V = \frac{124\pi}{5}$

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$, вокруг оси Ox, составляет $\frac{124\pi}{5}$ кубических единиц.