Question

Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если a7+a13=21 и a8+a12-a15=3

Answer 1

1) a₇ + a₁₃ = 21

a₁ + 6d + a₁ + 12d = 21

2a₁ + 18d = 21

a₁ + 9d = 10,5

2) a₈ + a₁₂ - a₁₅ = 3

a₁ + 7d + a₁ + 11d - (a₁ + 14d) = 3

2a₁ + 18d - a₁ - 14d = 3

a₁ + 4d = 3

$-\left \{ {{a_{1}+9d=10,5 } \atop {a_{1} +4d=3}} \right. \\-------\\\\5d=7,5\\\\d=1,5\\\\a_{1}=3-4d=3-4*1,5=3-6=-3\\\\a_{20}=a_{1} +19d=-3+19*1,5=-3+28,5=25,5\\\\S_{20}=\frac{a_{1} +a_{20} }{2}*20=(a_{1}+a_{20})*10=(-3+25,5)*10=22,5*10=225$

Answer 2

Для нахождения суммы двадцати первых членов арифметической прогрессии (S21), нам понадобятся значения нескольких членов этой прогрессии. Первым делом, найдем a7 и a13.

Пусть d - это разность арифметической прогрессии.

Из условия a7 + a13 = 21, мы можем записать:

a7 + (a7 + 6d) = 21 (так как a13 = a7 + 6d)

2a7 + 6d = 21

a7 + 3d = 10 (разделим обе части на 2)

Теперь найдем a8, a12 и a15.

Из условия a8 + a12 - a15 = 3, мы можем записать:

(a7 + d) + (a7 + 5d) - (a7 + 8d) = 3 (так как a8 = a7 + d, a12 = a7 + 5d и a15 = a7 + 8d)

a7 + 6d - 8d = 3

a7 - 2d = 3

Теперь у нас есть две уравнения:

1. a7 + 3d = 10

2. a7 - 2d = 3

Решим эту систему уравнений:

Из уравнения 1) выразим a7:

a7 = 10 - 3d

Подставим это значение в уравнение 2):

(10 - 3d) - 2d = 3

10 - 3d - 2d = 3

10 - 5d = 3

-5d = 3 - 10

-5d = -7

d = -7 / -5

d = 1.4

Теперь, когда мы знаем разность d, мы можем найти первый член a1:

a1 = a7 - 6d

a1 = (10 - 3d) - 6d

a1 = 10 - 3d - 6d

a1 = 10 - 9d

a1 = 10 - 9 * 1.4

a1 = 10 - 12.6

a1 = -2.6

Теперь у нас есть первый член (a1 = -2.6) и разность (d = 1.4) арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (a1 + a_n)

где n - количество членов прогрессии, a1 - первый член, а a_n - n-й член.

Для нашего случая n = 21:

S21 = 21/2 * (a1 + a21)

Теперь найдем a21:

a21 = a1 + 20d

a21 = -2.6 + 20 * 1.4

a21 = -2.6 + 28

a21 = 25.4

Теперь можем вычислить сумму:

S21 = 21/2 * (-2.6 + 25.4)

S21 = 21/2 * 22.8

S21 = 11 * 22.8

S21 = 250.8

Сумма двадцати первых членов арифметической прогрессии равна 250.8.