Question

Помогите, пожалуйста! егэ профиль Найдите наименьшее значение функции f(x)=3x⁴ + 4x³ - 12x² - 12 на отрезке [-0,5; 2]

Answer 1

1) Найдем производную

$f'(x)=12x^3+12x^2-24x$

2) Решим f'(x) = 0

Решением будет:

$x1=0\\x2=1\\x3=-2$

3) Методом интервалов устанавливаем, что на отрезке [-0.5;2] минимум будет в точке x = 1

4) Находим наименьшее значение на отрезке [-0,5;2]:

f(1) = 3 + 4 - 12 - 12 = -17

Ответ: -17 наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-0,5;2]

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите значения функции на граничных точках отрезка.
2. Найдите критические точки функции внутри отрезка, где производная равна нулю или не существует.
3. Сравните найденные значения функции в пунктах 1 и 2, чтобы определить наименьшее значение функции на отрезке.

Шаг 1: Найдем значения функции на граничных точках отрезка [-0.5, 2]:

Для x = -0.5: f(-0.5) = 3(-0.5)⁴ + 4(-0.5)³ - 12(-0.5)² - 12 f(-0.5) = 3(0.0625) - 4(0.125) - 12(0.25) - 12 f(-0.5) = 0.1875 - 0.5 - 3 - 12 f(-0.5) = -14.3125

Для x = 2: f(2) = 3(2)⁴ + 4(2)³ - 12(2)² - 12 f(2) = 3(16) + 4(8) - 12(4) - 12 f(2) = 48 + 32 - 48 - 12 f(2) = 20

Шаг 2: Найдем критические точки внутри отрезка, где производная равна нулю.

Найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю: f'(x) = d/dx(3x⁴ + 4x³ - 12x² - 12) f'(x) = 12x³ + 12x² - 24x

Теперь найдем критические точки: 12x³ + 12x² - 24x = 0 Поделим на 12: x³ + x² - 2x = 0

Мы видим, что x = 0 - это одно из решений. Теперь решим квадратное уравнение: x² + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две дополнительные критические точки: x = -2 и x = 1.

Шаг 3: Сравним значения функции в полученных точках:

f(-0.5) = -14.3125 f(0) = -12 f(1) = 3(1)⁴ + 4(1)³ - 12(1)² - 12 f(1) = 3 + 4 - 12 - 12 f(1) = -17 f(2) = 20

Наименьшее значение функции на отрезке [-0.5, 2] равно -17.