Question

Решите неравенство: Log x-2/3-x по основанию 1/2 <-1

Answer 1

ОДЗ :

$\frac{x-2}{3-x}>0$

(x - 2)(x - 3) < 0

        +                         -                      +

____________₀_________₀__________

                        2 ///////////////// 3

x ∈ (2 ; 3)

$log_{\frac{1}{2} } \frac{x-2}{3-x}$

$\frac{x-2}{3-x} >(\frac{1}{2})^{-1}\\\\\frac{x-2}{3-x} >2\\\\\frac{x-2}{3-x}-2>0\\\\\frac{x-2-6+2x}{3-x}>0\\\\\frac{3x-8}{3-x}>0\\\\-3(x-\frac{8}{3})(x-3)>0\\\\(x-2\frac{2}{3} )(x-3)$

      +                      -                          +

_________₀___________₀_____________

                2 2/3 /////////////// 3

x ∈ (2 2/3 ; 3)

С учётом ОДЗ, ответ : x ∈ ( 2 2/3 ; 3)

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с определения основания логарифма и правила логарифмирования:

Если у нас есть неравенство вида: log_a(b) < c, где a - основание логарифма, b - аргумент логарифма, а c - число, тогда оно эквивалентно неравенству: b < a^c.

В данном случае у нас a = 1/2, b = (x-2)/(3-x) и c = -1.

Итак, перепишем неравенство в эквивалентной форме:

(x-2)/(3-x) < (1/2)^(-1)

Теперь вычислим правую часть неравенства:

(1/2)^(-1) = 2

Теперь неравенство имеет вид:

(x-2)/(3-x) < 2

Чтобы решить это неравенство, выполним следующие шаги:

1. Убедимся, что знаменатель (3-x) не равен нулю, так как в таком случае неравенство теряет смысл (деление на ноль недопустимо). Значит, 3-x ≠ 0, что эквивалентно x ≠ 3.

2. Умножим обе части неравенства на (3-x) (при этом не меняя знак, так как (3-x) < 0 при x > 3):

(x-2) < 2(3-x)

3. Раскроем скобки:

x - 2 < 6 - 2x

4. Перенесем все переменные на одну сторону неравенства:

x + 2x < 6 + 2

5. Соберем переменные в одной части:

3x < 8

6. Разделим обе части на положительное число (3):

x < 8/3

Итак, полученное неравенство x < 8/3 выполняется при условии, что x ≠ 3. Ответ: x принадлежит интервалу (-∞, 8/3).