Question

Y=(5x³-6sqrt(x)+2)³ найти производную

Answer 1

$y'=3(5x^3-6\sqrt{x} +2)^2*(15x^2-3/\sqrt{x} )$

Answer 2

Для нахождения производной функции Y по переменной x, нужно применить правило дифференцирования сложной функции (Chain Rule). Вначале найдем производную внутренней функции, а затем возьмем её в куб и умножим на производную внешней функции.

Давайте разобъем задачу на части:

1. Найдем производную внутренней функции (5x³-6√x+2) по переменной x: d/dx (5x³-6√x+2)

Для этого применим правила дифференцирования:

Для члена 5x³: d/dx (5x³) = 35x^(3-1) = 15x²

Для члена -6√x: d/dx (-6√x) = -6*(1/2)*x^(-1/2) = -3/x^(1/2) = -3/√x

Для свободного члена 2: d/dx (2) = 0 (производная константы равна нулю)

Теперь полученные производные объединим: d/dx (5x³-6√x+2) = 15x² - 3/√x

2. Теперь возведем полученную производную внутренней функции в куб: (15x² - 3/√x)³

3. Найдем производную от полученной внешней функции (возведение в куб): Для этого применим правило дифференцирования степенной функции:

d/dx (u³) = 3u² * du/dx

Где u = (15x² - 3/√x) и du/dx = производная внутренней функции, которую мы уже вычислили в пункте 1.

Таким образом, производная функции Y по переменной x будет равна:

d/dx (Y) = 3(15x² - 3/√x)² * (15x² - 3/√x)'

где (15x² - 3/√x)' - это производная внутренней функции (15x² - 3/√x), которую мы уже нашли:

d/dx (15x² - 3/√x) = 15x² - 3/√x

Теперь остается только подставить полученное значение производной во внешнюю функцию:

d/dx (Y) = 3(15x² - 3/√x)² * (15x² - 3/√x) = 3(15x² - 3/√x)² * (15x² - 3/√x)

Таким образом, производная функции Y по переменной x равна 3(15x² - 3/√x)² * (15x² - 3/√x).