Question

Доказать, что значение выражения : a) 16^5 + 16^4 кратно 7 . в) 36^5 - 6^9 кратно 30

Answer 1

Смотри ответ во вложении

Answer 2

Для доказательства, что значение выражения кратно определенному числу, можно воспользоваться методом математической индукции.

a) Докажем, что выражение 16^5 + 16^4 кратно 7:

Шаг 1: Проверим базовый случай: При a = 1, выражение будет равно: 16^5 + 16^4 = 1048576 + 65536 = 1114112

Теперь проверим, является ли это число кратным 7: 1114112 ÷ 7 = 159158 остаток 6

Шаг 2: Предположение индукции: Пусть для некоторого целого числа a выражение 16^5 + 16^4 кратно 7: 16^5 + 16^4 = 7k, где k - целое число.

Шаг 3: Докажем для a + 1: Рассмотрим выражение для a + 1: 16^(a+1) + 16^a

Преобразуем это выражение: 16^(a+1) + 16^a = 16 * 16^a + 16^a = 16^a * (16 + 1) = 17 * 16^a

Теперь воспользуемся предположением индукции: 16^5 + 16^4 = 7k (где k - целое число)

Таким образом, выражение для a + 1 будет равно: 17 * 16^a = 17 * (7k) = 7 * (17k)

Полученное выражение видно, что 7 умножается на целое число, следовательно, выражение 16^(a+1) + 16^a кратно 7.

Таким образом, мы доказали, что выражение 16^5 + 16^4 кратно 7.

б) Докажем, что выражение 36^5 - 6^9 кратно 30:

Шаг 1: Проверим базовый случай: При a = 1, выражение будет равно: 36^5 - 6^9 = 60466176 - 10077696 = 50388480

Теперь проверим, является ли это число кратным 30: 50388480 ÷ 30 = 1679616 остаток 0

Шаг 2: Предположение индукции: Пусть для некоторого целого числа a выражение 36^5 - 6^9 кратно 30: 36^5 - 6^9 = 30k, где k - целое число.

Шаг 3: Докажем для a + 1: Рассмотрим выражение для a + 1: 36^(a+1) - 6^(2a+1)

Преобразуем это выражение: 36^(a+1) - 6^(2a+1) = 36 * 36^a - 6^9 * 6^a = 36^a * (36 - 6^9)

Теперь воспользуемся предположением индукции: 36^5 - 6^9 = 30k (где k - целое число)

Таким образом, выражение для a + 1 будет равно: 36^a * (36 - 6^9) = 36^a * (36 - 30k) = 36^a * (6(6 - 5k))

Заметим, что выражение (6 - 5k) будет целым числом, так как k - целое число.

Теперь полученное выражение видно, что 6 умножается на целое число, и, следовательно, выражение 36^(a+1) - 6^(2a+1) кратно 30.

Таким образом, мы доказали, что выражение 36^5 - 6^9 кратно 30.