Question

В треугольнике сумма длин его стороны и высоты, опущенной на нее, равна 15см. Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника быть равной а)20 см в квадрате, б)30 см в квадрате

Answer 1

Пусть сторона равна х, тогда высота равна (15-х)

Так как

S( Δ ) = (1/2)·a·h, то

S(x)=(1/2)x·(15-x) - площадь как функция, зависящая от х

Исследуем функцию S(x)  максимум, минимум.

S`(x)=(1/2)·(15x-x²)`

S`(x)=(1/2)·(15-2x)

S`(x)=0

15-2x=0

x=7,5 - точка максимума, при переходе через точку производная  меняет знак + на _

S=(1/2)*7,5*7,5=28,125

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника через a, b и c, а высоту, опущенную на сторону c, через h.

a) Площадь треугольника вычисляется по формуле S = (1/2) * b * h. Мы хотим найти наибольшую возможную площадь, при условии, что сумма длин стороны и высоты равна 15 см, то есть a + h = 15.

С помощью теоремы Пифагора, мы можем выразить высоту h через стороны треугольника:

h^2 = b^2 - (c/2)^2

Теперь можем выразить b через a и c:

b = 15 - a

Подставим это в формулу для h:

h^2 = (15 - a)^2 - (c/2)^2

Также у нас есть соотношение между сторонами треугольника и его площадью:

S = (1/2) * a * h

Теперь, чтобы найти наибольшую возможную площадь при S = 20 см², решим систему уравнений:

a + h = 15 S = (1/2) * a * h = 20

Первое уравнение можно переписать как h = 15 - a. Подставим это во второе уравнение:

(1/2) * a * (15 - a) = 20 Упростим уравнение:

15a - a^2 = 40 a^2 - 15a + 40 = 0 (a - 5)(a - 8) = 0

Таким образом, a = 5 см или a = 8 см. При a = 5 см, b = 10 см (по a + b = 15) и h = 10 см. При a = 8 см, b = 7 см и h = 7 см.

Таким образом, наибольшая возможная площадь треугольника составляет 20 см² и достигается при равностороннем треугольнике со стороной длиной 5 см.

б) Теперь найдем наибольшую возможную площадь при S = 30 см², решив аналогичную систему уравнений:

a + h = 15 S = (1/2) * a * h = 30

Перепишем первое уравнение как h = 15 - a и подставим во второе уравнение:

(1/2) * a * (15 - a) = 30 Упростим уравнение:

15a - a^2 = 60 a^2 - 15a + 60 = 0 (a - 10)(a - 6) = 0

Таким образом, a = 10 см или a = 6 см. При a = 10 см, b = 5 см (по a + b = 15) и h = 5 см. При a = 6 см, b = 9 см и h = 9 см.

Таким образом, наибольшая возможная площадь треугольника составляет 30 см² и достигается при прямоугольном треугольнике со сторонами длиной 6 см, 8 см и 10 см.