Question

Решите неравенство |ctgx|<√3

Answer 1

$|ctgx|$

x∈(-arcctg√3+pi*n;arcctg√3+pi/n),n∈Z

Ответ: x∈(pi/6+pi*n;5pi/6+pi*n),n∈Z

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам нужно рассмотреть два случая: когда ctg(x) положителен и когда ctg(x) отрицателен.

1. Пусть ctg(x) > 0: Так как |ctg(x)| равен ctg(x) в этом случае, то неравенство можно переписать так: ctg(x) < √3

2. Пусть ctg(x) < 0: Тогда |ctg(x)| равен -ctg(x) в этом случае, и неравенство можно переписать так: -ctg(x) < √3

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

1. ctg(x) > 0: Поскольку ctg(x) > 0 на интервалах между πk и π(k + 1), где k - целое число, нам интересуют только такие интервалы, где это условие выполняется. Для упрощения рассмотрим интервал (0, π). На этом интервале ctg(x) положителен и убывает от плюс бесконечности до минус бесконечности. Таким образом, чтобы неравенство было выполнено, ctg(x) должен быть меньше √3 и положителен:

ctg(x) < √3 0 < x < π

2. ctg(x) < 0: На интервалах между πk и π(k + 1), где k - целое число, ctg(x) < 0. Возьмем интервал (-π/2, 0), на котором ctg(x) отрицателен и возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности. Тогда чтобы неравенство выполнилось, ctg(x) должен быть больше -√3 и отрицателен:

-ctg(x) < √3 -π/2 < x < 0

Итак, решением данного неравенства является объединение интервалов:

0 < x < π или -π/2 < x < 0