Question

Найти экстремум функции y=7x^2+2x

Answer 1

Y=7x²+2x
y'=(7x²)'+(2x)'=14x+2
1)y'=0
14x+2=0
14x=-2
x=-2/14=-1/7
2)y'>0 функция возрастает
x>-1/7

3)y'<0 функция убывает
x<-1/7

4)__-____-1/7___+______
х=-1/7 точка минимум
у(-1/7)=7*1/49-2/7=1/7-2/7=-1/7

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции y = 7x^2 + 2x, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Затем мы проверим, является ли это значение точкой минимума или максимума.

Шаги для нахождения экстремумов:

1. Найдем производную функции y по x (y'):

   y' = d/dx(7x^2 + 2x) = 14x + 2.

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

   14x + 2 = 0 14x = -2 x = -2/14 x = -1/7.

3. Теперь, чтобы определить, является ли это значение x точкой минимума или максимума, проанализируем знак производной в окрестности этой точки.

   a) Посмотрим на знак производной до точки x = -1/7: При x < -1/7, 14x + 2 < 0 (так как 14x отрицательное), следовательно, производная убывает.

   b) Посмотрим на знак производной после точки x = -1/7: При x > -1/7, 14x + 2 > 0 (так как 14x положительное), следовательно, производная возрастает.

4. Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный при x = -1/7, это означает, что у нас есть минимум функции в этой точке.

Таким образом, минимум функции y = 7x^2 + 2x достигается при x = -1/7, и его значение можно найти, подставив x в исходную функцию:

y = 7(-1/7)^2 + 2(-1/7) = 7(1/49) - 2/7 = 1/7 - 2/7 = -1/7.

Итак, минимальное значение функции равно -1/7, и это достигается при x = -1/7.