Question

Найдите все комплексные числа, квадрат которых равен: 4, 0, -1, -33

Answer 1

Пусть a+bi - комплексное число, где b ≠ 0

Имеем

(a+bi)² = a² + 2abi + b²i² = a² + 2abi - b²

a² + 2abi - b² = 4

2abi = 0 ⇒ a = 0 ⇒ a² + 2abi = 0

-b² = 4 - нет решения

a² + 2abi - b² = 0

2abi = 0 ⇒ a = 0 ⇒ a² + 2abi = 0

b² = 0 - нет решения, т.к. a² + 2abi - b² = 0 это не комплексное число

a² + 2abi - b² = -1

2abi = 0 ⇒ a = 0 ⇒ a² + 2abi = 0

-b² = -1

b² = 1

b₁ = 1, b₂ = -1

Искомые числа i, -i

a² + 2abi - b² = -33

2abi = 0 ⇒ a = 0 ⇒ a² + 2abi = 0

-b² = -33

b² = 33

b₁ = √33, b₂ = -√33

Искомые числа √33 * i, -√33 * i

Answer 2

Для найти все комплексные числа, квадрат которых равен заданным значениям (4, 0, -1, -33), мы должны решить уравнение вида:

z^2 = a,

где z - неизвестное комплексное число, а "a" принимает значения 4, 0, -1 и -33.

1. Квадрат комплексного числа равен 4: z^2 = 4

Для этого случая, возможны два значения z: z = ±√4 = ±2

2. Квадрат комплексного числа равен 0: z^2 = 0

Здесь также возможны два значения z: z = ±√0 = 0

3. Квадрат комплексного числа равен -1: z^2 = -1

Это уравнение не имеет действительных решений, но у комплексных чисел есть мнимая единица "i", которая определяется как i^2 = -1. Таким образом, два значения z могут быть: z = ±i

4. Квадрат комплексного числа равен -33: z^2 = -33

Как и в предыдущем случае, это уравнение не имеет действительных решений. Мы можем использовать мнимую единицу "i" для представления корня из -33: z = ±√33 * i

Итак, все комплексные числа, квадрат которых равен 4, 0, -1 и -33:

• Для 4: z = ±2
• Для 0: z = 0
• Для -1: z = ±i
• Для -33: z = ±√33 * i