Question

Рациональные неравенства a)(x-2)(x+3)(x-4)>0;б)(x-1)(x+2)/(x-5)^2 меньше или равно 0;в)2x-1/x+3 больше или рано 1;г)x/x+3-3/x-1+13/x^2+2x-3 меньше или равно 0.

Answer 1

####################

Answer 2

Для решения каждого из данных рациональных неравенств необходимо найти интервалы значений переменной x, которые удовлетворяют неравенству. Чтобы это сделать, нужно выполнить следующие шаги:

a) $(x-2)(x+3)(x-4)>0$

1. Найдите значения x, при которых выражение равно нулю: $(x-2)(x+3)(x-4) = 0$ Это произойдет, когда $x = 2$, $x = -3$ или $x = 4$.

2. Разделите интервалы числовой оси на четыре части: $-\infty < x < -3$, $-3 < x < 2$, $2 < x < 4$ и $x > 4$.

3. Возьмите тестовую точку из каждого интервала и определите знак выражения $(x-2)(x+3)(x-4)$ при подстановке этой точки.

• Для $x = -4$, $(x-2)(x+3)(x-4) = (-6)(-1)(0) = 0$ (меньше нуля).
• Для $x = 0$, $(x-2)(x+3)(x-4) = (-2)(3)(-4) = 24$ (больше нуля).
• Для $x = 3$, $(x-2)(x+3)(x-4) = (1)(6)(-1) = -6$ (меньше нуля).
• Для $x = 5$, $(x-2)(x+3)(x-4) = (3)(8)(1) = 24$ (больше нуля).

4. Определите знак выражения $(x-2)(x+3)(x-4)$ для каждого интервала:

• $-\infty < x < -3$: выражение меньше нуля $(<0)$.
• $-3 < x < 2$: выражение больше нуля $(>0)$.
• $2 < x < 4$: выражение меньше нуля $(<0)$.
• $x > 4$: выражение больше нуля $(>0)$.

Таким образом, решение неравенства $(x-2)(x+3)(x-4)>0$ это $-3 < x < 2$ и $x > 4$.

б) $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-5)^2} \leq 0$

1. Найдите значения x, при которых числитель и знаменатель равны нулю: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

2. Разделите интервалы числовой оси на пять частей: $-\infty < x < -2$, $-2 < x < 1$, $1 < x < 5$, $x > 5$ и $x = 5$ (точка, где знаменатель равен нулю).

3. Возьмите тестовую точку из каждого интервала и определите знак выражения $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-5)^2}$ при подстановке этой точки.

• Для $x = -3$, $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-5)^2} = (-4)(1)/4 = -1$ (меньше или равно нулю).
• Для $x = 0$, $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-5)^2} = (-1)(2)/25 = -2/25$ (меньше или равно нулю).
• Для $x = 3$<