Question

Из 12 кв.м жести требуется изготовить открытый бак формы правильной четырехугольной призмы. Каковы должны быть размеры бака, чтобы он имел наибольший объем? (Размерами швов пренебречь).

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для определения размеров бака с максимальным объемом, мы должны рассмотреть его форму правильной четырехугольной призмы. Предположим, что бак имеет форму прямоугольной призмы с длиной (L), шириной (W) и высотой (H).

Объем V прямоугольной призмы определяется формулой: V = L * W * H

Мы также знаем, что площадь поверхности жести составляет 12 кв.м. Для прямоугольной призмы, площадь поверхности (S) вычисляется следующим образом:

S = 2LW + 2LH + 2WH

Так как у нас есть только одна условная ограниченная площадь жести (12 кв.м), мы можем связать размеры бака следующим образом:

2LW + 2LH + 2WH = 12 LW + LH + WH = 6 (делим обе стороны на 2)

Теперь у нас есть ограничение, которое позволяет нам выразить одну из переменных через другие. Нам нужно найти выражение для объема V только через одну переменную.

Для этого воспользуемся методом множителей Лагранжа. Возьмем функцию объема V = L * W * H и добавим множитель Лагранжа λ для учета ограничения:

F(L, W, H, λ) = L * W * H + λ(LW + LH + WH - 6)

Теперь найдем частные производные по L, W, H и λ и приравняем их к нулю, чтобы найти стационарные точки:

∂F/∂L = W * H + λ(W + H) = 0 ∂F/∂W = L * H + λ(L + H) = 0 ∂F/∂H = L * W + λ(L + W) = 0 ∂F/∂λ = LW + LH + WH - 6 = 0 (это ограничение)

Решим первое уравнение относительно λ: W * H + λ(W + H) = 0 λ(W + H) = -W * H λ = -W * H / (W + H)

Теперь решим второе уравнение относительно λ: L * H + λ(L + H) = 0 λ(L + H) = -L * H λ = -L * H / (L + H)

Приравниваем оба выражения λ и упростим: -W * H / (W + H) = -L * H / (L + H) W * (L + H) = L * (W + H) WL + WH = WL + LH WH = LH W = L

Теперь, когда у нас есть связь между размерами бака, подставим W = L в условие ограничения:

L * L + L * H + HL = 6 2L^2 + 2HL = 6 L^2 + HL - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно L:

L = (-H ± √(H^2 + 4*3)) / 2 L = (-H ± √(H^2 + 12)) / 2

Теперь мы можем найти H и L, которые обеспечат наибольший объем V = L * L * H = L^2 * H. Для этого возьмем производную V по H и найдем значения H и L:

dV/dH = L^2

dV/dH = 0 (находим экстремум)

L^2 = 0 L = 0 (не подходит, так как размеры должны быть положительными)

Теперь нам нужно определить, является ли это экстремумом максимум или минимумом. Для этого возьмем вторую производную V по H:

d^2V/dH^2 = 2L^2

Так как L^2 всегда положительно, то d^2V/dH^2 всегда положительно, что означает, что у нас есть минимум, а не максимум.

Таким образом, чтобы максимизировать объем бака, его размеры должны быть L = H = √3 (приблизительно 1.73 м), а ширина W = L (из условия W = L).