Question

Доказать, что (79 в 9 степени- 29 в 9 степени) делиться нацело на 25

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Чтобы доказать, что разность (79 в 9 степени - 29 в 9 степени) делится нацело на 25, нужно показать, что она кратна 25, то есть делится на 25 без остатка.

Для начала, вычислим данную разность:

$79^9 - 29^9$

Теперь воспользуемся малой теоремой Ферма, которая гласит:

Если $p$ - простое число, а $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$.

Здесь $p = 5$ (потому что 25 = 5 * 5), и $a = 79$ и $a = 29$ не делятся на 5. Таким образом, мы можем записать:

$79^4 \equiv 1 \pmod 5$

$29^4 \equiv 1 \pmod 5$

Теперь заметим, что:

$79^9 - 29^9 = (79^4)^2 \cdot 79 - (29^4)^2 \cdot 29$

Так как $79^4 \equiv 1 \pmod 5$ и $29^4 \equiv 1 \pmod 5$, можно записать:

$79^9 - 29^9 \equiv 1^2 \cdot 79 - 1^2 \cdot 29 \equiv 79 - 29 \equiv 50 \pmod 5$

Теперь докажем, что данная разность делится на 5. Для этого, покажем, что $50$ делится на 5 без остатка:

$50 = 5 \cdot 10$

Таким образом, $79^9 - 29^9$ делится на 5 без остатка.

Теперь посмотрим на число 25. Поскольку $25 = 5 \cdot 5$, чтобы данная разность также делилась на 25 без остатка, необходимо, чтобы она была кратна 5 (уже доказано), и еще один раз на 5.

Для этого заметим, что $79^9$ и $29^9$ сами по себе являются кратными 25. Это следует из того, что:

$79 = 5 \cdot 15 + 4$ и $29 = 5 \cdot 5 + 4$

Теперь выразим $79^9$ и $29^9$ в виде:

$79^9 = (5 \cdot 15 + 4)^9$

$29^9 = (5 \cdot 5 + 4)^9$

С помощью биномиальной теоремы, можем заметить, что все члены в разложении, кроме $4^9$, содержат множители вида $5^k$, где $k \geq 2$. Это означает, что $79^9$ и $29^9$ делятся на $5^2 = 25$ без остатка.

Таким образом, разность $79^9 - 29^9$ делится и на 5, и на 25 без остатка. Это означает, что она делится на $5 \cdot 25 = 125$ без остатка.