Question

В геометрической прогрессии b3=2 b5=8. Найдите сумму первых 5 членов прогрессии

Answer 1

Дано:

$b_n$ геометрическая прогрессия;

b₃=2;

b₅=8

Найти: S₅

Решение:

1) b₅=b₃q²

 q² = b₅ : b₃

 q² = 8 : 2

 q² = 4

 q₁ = -√4 = -2;  => q₁ = -2;

 q₂ = √4 = 2;  => q₂ = 2

2) b₃=b₁q²    =>     b₁=b₃ : q²  

   b₁ = 2 : 4

  b₁ = 0,5

3)  $S_n=\frac{b_nq-b_1}{q-1}$

   $S_5=\frac{b_5q-b_1}{q-1}$

    При q = -2

$S_5=\frac{8*(-2)-0,5}{-2-1}=\frac{-16,5}{-3}=5,5$

    S₅ = 5,5

   При q = 2

$S_5=\frac{8*2-0,5}{2-1}=\frac{15,5}{1}=15,5$

    S₅ = 15,5

   

Answer 2

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, нам необходимо знать первый член (b1) и знаменатель прогрессии (q).

Общая формула для членов геометрической прогрессии выглядит так: b_n = b_1 * q^(n-1), где b_n - n-й член прогрессии, b_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Из условия задачи у нас есть два уравнения: b_3 = 2 b_5 = 8

Применяя формулу геометрической прогрессии, получим два уравнения:

1. b_3 = b_1 * q^(3-1) = b_1 * q^2 = 2
2. b_5 = b_1 * q^(5-1) = b_1 * q^4 = 8

Теперь мы можем решить систему уравнений для нахождения b_1 и q:

Из первого уравнения: b_1 * q^2 = 2 => b_1 = 2 / q^2 Из второго уравнения: b_1 * q^4 = 8 => (2 / q^2) * q^4 = 8 => 2 * q^2 = 8 => q^2 = 4 => q = 2 или q = -2

Так как знаменатель прогрессии не может быть отрицательным, то q = 2.

Теперь, чтобы найти b_1, подставим q = 2 в любое уравнение: b_1 = 2 / 2^2 = 2 / 4 = 0.5

Теперь у нас есть первый член прогрессии (b_1 = 0.5) и знаменатель прогрессии (q = 2), и мы можем найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: S_n = b_1 * (1 - q^n) / (1 - q)

где S_n - сумма первых n членов прогрессии.

Теперь подставим известные значения: S_5 = 0.5 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 0.5 * (1 - 32) / (1 - 2) = 0.5 * (-31) / (-1) = 0.5 * 31 = 15.5

Сумма первых 5 членов геометрической прогрессии равна 15.5.