Question

Положительные числа a b c таковы что, a^3*b^2*c^7+a^4*bc^7-a^3*bc^8=0. Докажите, что одно из чисел равно сумме двух других.​

Answer 1

a^3*b*c^7 * (b + a - c) = 0

Делим левую и правую часть на а^3*b*c^7

b + a - c = 0

b + a = c

Доказано.

Answer 2

Давайте предположим, что все числа a, b и c положительные и удовлетворяют уравнению:

a^3b^2c^7 + a^4bc^7 - a^3bc^8 = 0

Мы хотим доказать, что одно из чисел равно сумме двух других. Для этого рассмотрим каждый член уравнения и попробуем привести его к форме суммы двух других чисел.

Итак, данное уравнение:

a^3b^2c^7 + a^4bc^7 - a^3bc^8 = 0

Факторизуем общий множитель a^3bc^7:

a^3bc^7 * (b + a - bc) = 0

Так как все числа положительные, то a^3bc^7 не может быть равно нулю. Таким образом, у нас остается:

b + a - bc = 0

Теперь давайте рассмотрим выражение с другим общим множителем a^4*c^7:

a^4*c^7 * (b - bc) = 0

Так как a^4*c^7 не может быть равно нулю, получаем:

b - bc = 0

Теперь объединим два уравнения:

b + a - bc = 0 b - bc = 0

Вычтем второе уравнение из первого:

(b + a - bc) - (b - bc) = 0

b + a - bc - b + bc = 0

a = 0

Таким образом, из нашего рассмотрения следует, что a = 0, что противоречит начальному предположению о положительности a, b и c.

Итак, мы не можем рассматривать a = 0. Это означает, что исходное уравнение может выполняться только тогда, когда:

b + a - bc = 0

Это уравнение можно переписать:

b = bc - a

b = c(b - a)

Теперь мы видим, что b является произведением числа c и разности (b - a). Так как все числа положительные, b, c и (b - a) должны быть положительными. Это означает, что b должно быть больше нуля, и разность (b - a) также должна быть больше нуля, чтобы произведение b и (b - a) было положительным. Следовательно, c также должно быть больше нуля.

Таким образом, мы доказали, что b является произведением числа c и положительной разности (b - a). Следовательно, одно из чисел равно сумме двух других.