Question

Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а7+а13=21 і а8+а12-а15=3

Answer 1

Два способи. 1-ий складнiше, вимагаэ знання багвтьох формул. 2 - ий бiльш стандартний, через систему.

Answer 2

Для того щоб знайти суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії, спочатку нам потрібно знайти значення першого члена (а1) та різницю (d) прогресії.

Означення арифметичної прогресії: аn = а1 + (n - 1) * d

Задано: а7 + а13 = 21 ...(1) а8 + а12 - а15 = 3 ...(2)

Крок 1: Знайдемо а1 та d.

Для цього, віднімемо (1) від (2):

(а8 + а12 - а15) - (а7 + а13) = 3 - 21

Тепер підставимо вирази для аn у вищезгаданих рівняннях:

[(а1 + 7d) + (а1 + 13d) - (а1 + 14d)] - [(а1 + 6d) + (а1 + 12d)] = -18

Спростимо вираз:

(а1 + 20d) - (а1 + 18d) = -18

2d = -18

d = -9

Крок 2: Знайдемо а1, підставивши значення d в одне з вищезгаданих рівнянь:

а7 + а13 = 21

(а1 + 6d) + (а1 + 12d) = 21

(а1 + 6(-9)) + (а1 + 12(-9)) = 21

а1 - 54 + а1 - 108 = 21

2а1 - 162 = 21

2а1 = 21 + 162

2а1 = 183

а1 = 183 / 2

а1 = 91.5

Крок 3: Знаходимо суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії (S20):

S20 = (20/2) * (а1 + а20)

S20 = 10 * (а1 + (а1 + 19d))

S20 = 10 * (91.5 + (91.5 + 19(-9)))

S20 = 10 * (91.5 + 91.5 - 171)

S20 = 10 * (183 - 171)

S20 = 10 * 12

S20 = 120

Отже, сума двадцяти перших членів арифметичної прогресії дорівнює 120.