Question

Найдите промежутки возрастания (убывания) функции f(x)=2x^3+3x^2-12x

Answer 1

возрастания (-2,20)

убывания(1, -7)

Answer 2

Для найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо вычислить её производную и проанализировать знак этой производной.

Дана функция: f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x

Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (2x^3 + 3x^2 - 12x)

Для нахождения производной, используем правило дифференцирования степенной функции: d/dx (x^n) = n * x^(n-1)

Применим правило к каждому слагаемому:

f'(x) = 3 * 2x^(3-1) + 2 * 3x^(2-1) - 12 * d/dx (x)

Упростим:

f'(x) = 6x^2 + 6x - 12

Шаг 2: Найдем критические точки функции, то есть значения x, при которых f'(x) = 0:

6x^2 + 6x - 12 = 0

Шаг 3: Решим уравнение для x:

Для начала, разделим уравнение на 6:

x^2 + x - 2 = 0

Теперь попробуем разложить на множители:

(x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x:

x = -2 или x = 1

Шаг 4: Исследуем знак производной в промежутках между критическими точками и за пределами них.

• Когда x < -2: Подставим x = -3 в производную: f'(-3) = 6*(-3)^2 + 6*(-3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 (положительное значение) Значит, в интервале (-∞, -2) производная положительна, а функция возрастает.

• Когда -2 < x < 1: Возьмем, например, x = 0: f'(0) = 60^2 + 60 - 12 = -12 (отрицательное значение) Значит, в интервале (-2, 1) производная отрицательна, а функция убывает.

• Когда x > 1: Возьмем, например, x = 2: f'(2) = 62^2 + 62 - 12 = 48 + 12 - 12 = 48 (положительное значение) Значит, в интервале (1, ∞) производная положительна, а функция возрастает.

Шаг 5: Составим таблицу промежутков возрастания и убывания функции:

markdownCopy code
------------------------------------------------------------------------
Промежуток         |  (-∞, -2)   |   (-2, 1)   |    (1, ∞)
------------------------------------------------------------------------
Знак производной   |   +        |     -       |    +
------------------------------------------------------------------------
Тип функции        | Возрастает  |  Убывает    | Возрастает
------------------------------------------------------------------------

Итак, мы нашли промежутки, на которых функция f(x) возрастает и убывает:

1. Функция возрастает на промежутке (-∞, -2).
2. Функция убывает на промежутке (-2, 1).
3. Функция возрастает на промежутке (1, ∞).