Question

Помогите решить логарифмические неравенство решите неравенство log1/2 (3x+6) - log1/2 (2x-4) < log 1/2 (2x-6) +2

Answer 1

Начнем с ОДЗ:

3x+6 > 0 => x > -2

2x - 4 > 0 => x > 2. Общее ОДЗ: x>3

2x - 6 > 0 => x > 3

Решение:

Представим 2, как log1/2 (1/4), чтобы было удобнее считать. Далее применяем свойства суммы и разности логарифмов, и неравенство сводится к обычному дробно-рациональному. И не забываем поменять знак на противоположный, потому что основание логарифма меньше 1.

log1/2 ( (3x+6)/(2x-4) ) < log1/2 ( 1/4*(2x-6) )

log1/2 t - убывающая функция, а значит знак меняем.

(3x+6)/(2x-4) > x/2 - 6/4

(3x + 6 -x² + 2x + 3x -6) / 2(x-2) > 0

x(8 - x) / 2(x-2) > 0

Решение этого неравенства будет x ∈ ( - ∞; 0) ∪ ( 2; 8)

Из ОДЗ следует, что х>3, то ответ будет: x ∈ ( 3; 8)

Ответ: (3; 8)

Answer 2

Для решения логарифмического неравенства сначала объединим все логарифмы в один логарифм, используя свойство логарифма:

log1/2(3x + 6) - log1/2(2x - 4) < log1/2(2x - 6) + 2

Сначала объединим логарифмы слева:

log1/2[(3x + 6) / (2x - 4)] < log1/2(2x - 6) + 2

Теперь возведем обе стороны уравнения в степень 2 (основание логарифма):

[(3x + 6) / (2x - 4)] < (2x - 6)^2

Теперь решим неравенство. Сначала раскроем квадрат справа:

[(3x + 6) / (2x - 4)] < 4x^2 - 24x + 36

Далее умножим обе стороны неравенства на (2x - 4) (помните, что при умножении на отрицательное число неравенство меняет направление):

(3x + 6) < (2x - 4)(4x^2 - 24x + 36)

Теперь приведем все слагаемые на правой стороне к одному общему множителю:

(3x + 6) < (2x - 4)(2x - 6)(2x - 6)

Далее раскроем скобки:

3x + 6 < (2x - 4)(4x^2 - 24x + 36)

Разложим правую сторону на множители и упростим:

3x + 6 < (2x - 4)(2x - 6)^2 3x + 6 < (2x - 4)(4x^2 - 24x + 36) 3x + 6 < 8x^3 - 68x^2 + 148x - 144

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть и приведем квадратное уравнение к нулю:

8x^3 - 68x^2 + 148x - 150 < 0

Теперь решим это кубическое неравенство. Мы знаем, что 2 - это корень уравнения, так как (2x - 4) = 0, когда x = 2. Разделим уравнение на (x - 2):

(8x^3 - 68x^2 + 148x - 150) / (x - 2) < 0

Теперь, чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется, используем метод знаков:

1. Интервал (-∞, 2): Выбираем точку в этом интервале, например, x = 0: (8(0)^3 - 68(0)^2 + 148(0) - 150) / (0 - 2) = -150 / -2 = 75 > 0 Так как значение положительное, неравенство в этом интервале не выполняется.

2. Интервал (2, +∞): Выбираем точку в этом интервале, например, x = 3: (8(3)^3 - 68(3)^2 + 148(3) - 150) / (3 - 2) = 294 > 0 Так как значение положительное, неравенство выполняется в этом интервале.

Таким образом, неравенство выполняется только в интервале (2, +∞).