Question

Решить неравенство tg(x/2) < 1

Answer 1

$tg\frac{x}{2}$

Answer 2

Для решения неравенства tg(x/2) < 1, следует учитывать, что функция тангенса (tg) вещественного аргумента может быть меньше единицы только в определенных областях значения. Тангенс имеет период π, и его значения повторяются каждые π радиан. Мы можем использовать это свойство для решения неравенства.

Давайте разберемся с неравенством:

1. Определение области значений: Так как функция тангенса не определена при значениях аргумента, когда x/2 = (π/2) + kπ, где k - целое число, нам нужно исключить эти значения из рассмотрения. Таким образом, область значений x/2 должна удовлетворять условию x/2 ≠ (π/2) + kπ.

2. Первый период: На первом периоде, [0, π], наша задача - найти все интервалы, где tg(x/2) < 1. Мы можем начать, определив, когда tg(x/2) = 1, так как это будет границей между интервалами.

   При каких значениях x/2 tg(x/2) = 1? Это происходит, когда x/2 = π/4 + kπ, где k - целое число. Однако, помните, что нам нужно исключить значения x/2 = π/2 + kπ.

   Таким образом, значения x/2 = π/4 + kπ будут границами интервалов, где tg(x/2) < 1.

3. Решение: Найдем первый интервал, где tg(x/2) < 1.

   Первый интервал: [0, π/4) Здесь 0 ≤ x/2 < π/4.

   Теперь найдем второй интервал.

   Второй интервал: (π/4, π) Здесь π/4 < x/2 < π.

Таким образом, решением неравенства tg(x/2) < 1 является объединение интервалов [0, π/4) и (π/4, π):

0 ≤ x/2 < π/4 и π/4 < x/2 < π.