Question

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=х^2+1 и у=-х+3

Answer 1

Смотри решение и рисунок на фотках

Answer 2

Чтобы вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность функций между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения двух функций у=х^2+1 и у=-х+3, приравняв их:

х^2 + 1 = -х + 3

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

х^2 + х - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение, факторизуя его:

(х + 2)(х - 1) = 0

Отсюда получаем два значения х:

1. х + 2 = 0 => х = -2
2. х - 1 = 0 => х = 1

Таким образом, линии пересекаются в точках (-2, 5) и (1, 2).

Для вычисления площади между этими двумя кривыми, возьмем интеграл от разности уравнений:

Площадь = ∫[a, b] (у2 - у1) dx, где a и b - точки пересечения, у2 - уравнение у=-х+3, у1 - уравнение у=х^2+1.

Таким образом, площадь будет равна:

Площадь = ∫[-2, 1] ((-х + 3) - (х^2 + 1)) dx

Выполним интегрирование:

Площадь = ∫[-2, 1] (-х + 3 - х^2 - 1) dx Площадь = ∫[-2, 1] (-х^2 - х + 2) dx

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

Площадь = [- (х^3 / 3) - (х^2 / 2) + 2х] от -2 до 1

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [- ((1)^3 / 3) - ((1)^2 / 2) + 2(1)] - [- ((-2)^3 / 3) - ((-2)^2 / 2) + 2(-2)]

Площадь = [- (1/3) - 1/2 + 2] - [- (-8/3) - 2 + (-4)]

Площадь = [- (1/3) - 1/2 + 2] - [8/3 - 2 - 4]

Площадь = [4/6 - 3/6 + 12/6] - [8/3 - 6/3 - 12/3]

Площадь = (13/6) - (-10/3)

Площадь = 13/6 + 10/3

Теперь найдем общий знаменатель:

Площадь = (13/6) + (20/6)

Площадь = 33/6

Упростим:

Площадь = 5.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2+1 и у=-х+3, равна 5.5 квадратных единиц.