Question

Найдите площадь фигуры,ограниченной линиями. Помогите y=x^2+6x+10;y=5

Answer 1

Ответ:   $S=10\frac{2}{3}$  .

Объяснение:

$y=x^2+6x+10\; \; ,\; \; y=5\\\\x^2+6x+10=5\; \; \to \; \; x^2+6x+5=0\; ,\; \; x_1=-1\; ,\; x_2=-5\; (Viet)\\\\S=\int\limits^{-1}_{-5}\, (5-x^2-6x-10)\, dx=\int\limits^{-1}_{-5}\, (-x^2-6x-5)\, dx=\\\\=(-\frac{x^3}{3}-3x^2-5x)\Big |_{-5}^{-1}=(\frac{1}{3}-3+5)-(\frac{125}{3}-75+25)=\\\\=\frac{1}{3}-\frac{125}{3}+52=52-41\frac{1}{3}=10\frac{2}{3}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми линиями, необходимо вычислить определенный интеграл. В данном случае, площадь будет между графиками функций y = x^2 + 6x + 10 и y = 5.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций:

1. Приравняем y = x^2 + 6x + 10 к y = 5: x^2 + 6x + 10 = 5

2. Перенесем все в левую сторону: x^2 + 6x + 5 = 0

3. Решим квадратное уравнение для x: Дискриминант D = (6)^2 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16 x = (-6 + √16) / 2 = (-6 + 4) / 2 = -1 x = (-6 - √16) / 2 = (-6 - 4) / 2 = -5

Таким образом, графики пересекаются в точках x = -1 и x = -5.

Теперь, чтобы найти площадь между этими кривыми, необходимо вычислить определенный интеграл от разности функций в пределах от x = -5 до x = -1:

Площадь = ∫[от -5 до -1] (x^2 + 6x + 10 - 5) dx Площадь = ∫[от -5 до -1] (x^2 + 6x + 5) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = [ (1/3) * x^3 + 3x^2 + 5x ] [от -5 до -1] Площадь = (1/3 * (-1)^3 + 3 * (-1)^2 + 5 * (-1)) - (1/3 * (-5)^3 + 3 * (-5)^2 + 5 * (-5)) Площадь = (-1/3 + 3 - 5) - (-125/3 + 3 * 25 - 25) Площадь = (-1/3 - 2) - (-125/3 + 50 - 25) Площадь = -7/3 - 8/3 Площадь = -15/3 Площадь = -5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 6x + 10 и y = 5, равна 5 квадратных единиц (единицы площади). Обратите внимание, что площадь не может быть отрицательной, поэтому в этом контексте площадь считается положительной.