Question

Докажите тождество 2cos^2(п/4-2a)=sin4a+1

Answer 1

2cos²(π/4-2α)=1+cos(2(π/4-2α))=1+cos((π/2-4α))=1+sin4α

Answer 2

Решение:

2cos^2(п/4-2а)=sin4a+1

Докажим это тождество:

2cos^2(п/4-2а)=1 + cos(2(п/4-2а))

2cos^2(п/4-2а)=1+cos(п:2-4а)=

2cos^2(п/4-2а)=1+sin4a

Ответ: Тождество доказано

Answer 3

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постепенно преобразуем ее с использованием тригонометрических тождеств. Наша цель - привести левую сторону к той же форме, что и правая сторона.

Начнем с левой стороны:

1. Используем тригонометрическое тождество cos(π/4 - 2a) = cos(π/4)cos(2a) + sin(π/4)sin(2a) = (1/√2)cos(2a) + (1/√2)sin(2a) = (1/√2)(cos(2a) + sin(2a)).

2. Возводим полученное выражение в квадрат: [cos(π/4 - 2a)]^2 = (1/2)(cos(2a) + sin(2a))^2.

3. Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1: cos^2(2a) + 2cos(2a)sin(2a) + sin^2(2a) = 1.

4. Выразим sin^2(2a) через cos^2(2a) с использованием тождества sin^2(x) = 1 - cos^2(x): cos^2(2a) + 2cos(2a)[1 - cos^2(2a)] + (1 - cos^2(2a)) = 1.

5. Упростим уравнение: cos^2(2a) + 2cos(2a) - 2cos^3(2a) + 1 - cos^2(2a) = 1.

6. Объединим подобные элементы: -2cos^3(2a) + 3cos^2(2a) + 2cos(2a) = 0.

7. Выразим выражение в виде кубического уравнения: 2cos(2a)[cos^2(2a) + 1] - 2cos^3(2a) = 0.

8. Факторизуем общий множитель: 2cos(2a)[cos^2(2a) + 1 - cos^2(2a)] = 0.

9. Упростим: 2cos(2a) = 0.

Теперь рассмотрим правую сторону тождества:

sin(4a) + 1.

Мы видим, что левая сторона тождества принимает значение 0 при cos(2a) = 0, а правая сторона принимает значение 1 при a = 0 (так как sin(0) = 0 и 0 + 1 = 1).

Таким образом, тождество не выполняется для всех значений угла a, исходное утверждение не верно.