Question

Срочно Помогите пожалуйста: Для функции F(x)=6(x+1)^5+3(2x-1)^2-4x-cos3x найдите первообразную, график которой проходит через точку М (0; -1)

Answer 1

$G(x)=\int [6(x+1)^{5}+3(2x-1)^{2}-4x-\cos 3x] \, dx = (x+1)^{6}+4x^{3}-8x^{2}+3x-\frac{\sin 3x}{3}+C, \; C \in \mathbb{R}$;

Нам известно, что G(0)=-1: $(0+1)^{6}+0-0+0-0+C=-1 \Leftrightarrow C=-2$;

Искомая первообразная: $(x+1)^{6}+4x^{3}-8x^{2}+3x-\frac{\sin 3x}{3}-2$

Answer 2

Хорошо, давайте найдем первообразную для данной функции F(x) и затем определим значение постоянной с помощью информации о точке М(0, -1).

Первообразная функции - это функция, производная которой равна исходной функции. Для данной функции F(x) сначала найдем производные компонентов:

1. Производная (x + 1)^5 по x: d/dx[(x + 1)^5] = 5(x + 1)^4

2. Производная (2x - 1)^2 по x: d/dx[(2x - 1)^2] = 2(2x - 1)

3. Производная cos(3x) по x: d/dx[cos(3x)] = -3sin(3x)

Теперь, найдем производную функции F(x):

F'(x) = 6 * 5(x + 1)^4 + 3 * 2(2x - 1) - 4 - 3sin(3x) F'(x) = 30(x + 1)^4 + 6(2x - 1) - 3sin(3x) - 4

Теперь найдем первообразную функции F(x) из полученной производной F'(x):

∫F'(x) dx = ∫(30(x + 1)^4 + 6(2x - 1) - 3sin(3x) - 4) dx

Для первой компоненты интеграла используем правило ∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1):

∫30(x + 1)^4 dx = 30 * (1/5)(x + 1)^5 + C1

Для второй компоненты интеграла используем правило ∫(ax) dx = (a/2)x^2:

∫6(2x - 1) dx = 3(2x - 1)^2 + C2

Для третьей компоненты интеграла используем правило ∫sin(ax) dx = -(1/a)cos(ax):

∫-3sin(3x) dx = -(3/3)cos(3x) = -cos(3x) + C3

Для последней константы интегрирования включим ее прямо в первообразную и обозначим ее C:

Итак, первообразная функции F(x) выглядит следующим образом:

F(x) = 30 * (1/5)(x + 1)^5 + 3(2x - 1)^2 - cos(3x) - 4 + C

Теперь, чтобы найти значение константы C, используем информацию о точке М(0, -1):

F(0) = 30 * (1/5)(0 + 1)^5 + 3(2 * 0 - 1)^2 - cos(3 * 0) - 4 + C F(0) = 30 * (1/5)(1)^5 + 3(-1)^2 - cos(0) - 4 + C F(0) = 30 * (1/5) + 3 - 1 - 4 + C F(0) = 6 + C

Так как F(0) должно равняться -1 (так как график функции проходит через точку М(0, -1)), то:

6 + C = -1 C = -1 - 6 C = -7

Таким образом, окончательная первообразная функции F(x), проходящая через точку М(0, -1), имеет вид:

F(x) = 30 * (1/5)(x + 1)^5 + 3(2x - 1)^2 - cos(3x) - 4 - 7

F(x) = 6(x + 1)^5 + 3(2x - 1)^2 - cos(3x) - 11