Question

4|cos(x)| + 3 = 4*sin^2(x)Помогите решить !

Answer 1

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения уравнения 4|cos(x)| + 3 = 4*sin^2(x) сначала найдем интервалы, на которых это уравнение выполнено, а затем найдем точные значения x в каждом интервале.

Шаг 1: Найдем интервалы, на которых уравнение выполнено:

Для начала, заметим, что оба члена уравнения не могут быть отрицательными, так как абсолютное значение (|cos(x)|) всегда неотрицательно, а квадрат sin^2(x) также неотрицателен.

Таким образом, у нас два случая:

1. 4cos(x) + 3 = 4sin^2(x)
2. -4cos(x) + 3 = 4sin^2(x)

Шаг 2: Решим первое уравнение 4cos(x) + 3 = 4sin^2(x):

Перенесем все члены в одну сторону:

4sin^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0

Шаг 3: Решим второе уравнение -4cos(x) + 3 = 4sin^2(x):

Перенесем все члены в одну сторону:

4sin^2(x) + 4cos(x) - 3 = 0

Теперь у нас есть два уравнения для решения. Давайте рассмотрим их по очереди.

Решение первого уравнения 4sin^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0:

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Заменим sin^2(x) в уравнении:

4*(1 - cos^2(x)) - 4*cos(x) - 3 = 0

Раскроем скобки:

4 - 4cos^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0

Теперь приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:

4cos^2(x) + 4cos(x) - 7 = 0

Это уравнение квадратное относительно cos(x). Решим его, используя квадратное уравнение:

cos(x) = (-4 ± √(4^2 - 4 * 4 * (-7))) / (2 * 4) cos(x) = (-4 ± √(16 + 112)) / 8 cos(x) = (-4 ± √128) / 8 cos(x) = (-4 ± 8√2) / 8

Теперь найдем значения cos(x):

1. cos(x) = (-4 + 8√2) / 8 cos(x) ≈ 0.9142

2. cos(x) = (-4 - 8√2) / 8 cos(x) ≈ -1.9142

Однако косинус не может быть больше 1 по модулю, поэтому первое значение отбрасываем.

Теперь решим второе уравнение 4sin^2(x) + 4cos(x) - 3 = 0:

Подставим sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

4*(1 - cos^2(x)) + 4*cos(x) - 3 = 0

Раскроем скобки:

4 - 4cos^2(x) + 4cos(x) - 3 = 0

Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:

4cos^2(x) - 4cos(x) + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

cos(x) = (4 ± √(4^2 - 4 * 4 * 1)) / (2 * 4) cos(x) = (4 ± √(16 - 16)) / 8 cos(x) = (4 ± √0) / 8 cos(x) = (4 ± 0) / 8

Здесь мы получили два одинаковых значения cos(x):

cos(x) = 4 / 8 cos(x) = 0.5

Теперь, чтобы найти значения x, возьмем обратный косинус:

x = arccos(0.5) x = π/3 (или 60°)

Итак, мы получили два решения:

1. x ≈ π/3 (или 60°)
2. x ≈ 2π/3 (или 120°)