Question

Помогите найти производную сложной функции (sqr(2x-1))/x. С решением. Заранее благодарен

Answer 1

Решение на фото в приложении

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции $f(x) = \frac{{\sqrt{2x-1}}}{x}$ по $x$ вам понадобится применить правило дифференцирования сложной функции. Первым шагом разложим данную функцию на две функции: $u(x) = \sqrt{2x-1}$ и $v(x) = \frac{1}{x}$. Тогда $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$.

Теперь применим правило дифференцирования сложной функции $\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{v(x)\frac{du}{dx} - u(x)\frac{dv}{dx}}{(v(x))^2}$.

1. Найдем производную $u'(x)$:

Для этого воспользуемся формулой для производной корневой функции $\sqrt{x}$, которая равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$u'(x) = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x-1}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}}\cdot \frac{d}{dx}(2x-1) = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}}\cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$

2. Теперь найдем производную $v'(x)$:

$v'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$

Теперь, когда у нас есть производные $u'(x)$ и $v'(x)$, мы можем применить формулу для нахождения производной сложной функции:

$f'(x) = \frac{v(x)u'(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-1}} - \sqrt{2x-1} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(\frac{1}{x}\right)^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\frac{1}{x\sqrt{2x-1}}+}{}$ 0 0